Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb. W pierwszym wierszu znajduje się liczba , w następnym – dwie jedynki. W kolejnych wierszach jedynki umieszczone są na początku i końcu każdego wiersza. Każda liczba „środkowa” jest sumą dwóch liczb bezpośrednio znajdujących się nad nią.
REVMWazYQ6HSF
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z pięciu wierszy. W każdym wierszu znajdują się kwadratowe pola z wpisanymi liczbami, przy czym każdy kolejny wiersz posiada o jedno pole więcej od poprzedniego. Wiersz pierwszy: 1, wiersz drugi: 1 1 wiersz trzeci: 1 2 1, przy czym z jedynek z wiersza pierwszego poprowadzono dwie ukośne strzałki do środkowej liczby wiersza trzeciego, czyli do dwójki. Wiersz czwarty: 1 3 3 1, wiersz piąty: 1 4 5 6 4 1, przy czym z pierwszych dwóch liczb z wiersza czwartego, czyli z jedynki i z trójki poprowadzono strzałki do drugiej liczby wiersza piątego, czyli do czwórki.
Wiersze w trójkącie Pascala numerujemy kolejnymi liczbami naturalnymi.
RC4gzlXgw9Z87
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. W każdym wierszu znajdują się kwadratowe pola z wpisanymi liczbami, przy czym każdy kolejny wiersz posiada o jedno pole więcej od poprzedniego. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1.
Przykład 1
Zbudujemy w trójkącie Pascala wiersz nr .
Zauważmy, że w każdym kolejnym wierszu trójkąta Pascalatrójkąt Pascalatrójkąta Pascala znajduje się o jedna liczba więcej niż w wierszu go poprzedzającym. Zatem wiersz ósmy zbudowany będzie z liczb. Początkowa i końcowa liczba to . Znajdujemy „środkowe” liczby, jako sumy liczb z wiersza nr .
RBIIkZW6V3juV
Ilustracja przedstawia siódmy i ósmy wiersz trójkąta Pascala, przy czym pokazano tu konstrukcję wiersza ósmego w oparciu o wiersz siódmy za pomocą strzałek i dodawania. Wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Wiersz ósmy: 1 8 28 56 70 56 28 8 1. Zauważmy, że każdy wiersz jest symetryczny, zatem w oparciu o tę cechę opiszemy konstrukcję w sposób uproszczony. Z wiersza siódmego poprowadzono strzałki opatrzone plusem od 1 i 7 zarówno z lewej , jak i z prawej strony do pól wiersza ósmego z ósemką. Z pól 7 i 21 poprowadzono strzałki z plusem między strzałkami do pola 28, z pól 21 i 35 poprowadzono strzałki do pola z liczbą 56 oraz ze środkowych pól poprowadzono strzałki do pola z liczbą 70 w wierszu ósmym.
Wiersz nr składa się z liczb: , , , , , , , , .
Niektóre własności trójkąta Pascala
Własność
Własność: Własność
Liczby w trójkącie Pascala ułożone są symetrycznie.
R1HtYqmShphys
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. W każdym wierszu znajdują się kwadratowe pola z wpisanymi liczbami, przy czym każdy kolejny wiersz posiada o jedno pole więcej od poprzedniego. Na ilustracji podkreślono symetrię, dodając kolorowe tło w polach, symetrycznych danego wiersza. Tylko w wierszach, w których występuje nieparzysta ilość pól mamy pojedyncze środkowe pola, które nie są symetryczne. Wiersz zerowy: 1 - to pole jest niesymetryczne, wiersz pierwszy: 1 1 - pola są symetryczne, wiersz drugi: 1 2 1 - jedynki są symetryczne, wiersz trzeci: 1 3 3 1 - 1 3 jest symetryczne do 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1 - 1 4 jest symetryczne do 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1 - 1 5 jest symetryczne do 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1 - 1 6 15 jest symetryczne do 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1 - 1 7 21 35 jest symetryczne do 35 21 7 1.
Własność
Własność: Własność
Na pierwszej „przekątnej” trójkąta Pascala leżą jedynki, na drugiej „przekątnej” kolejne liczby naturalne, na trzeciej – kolejne liczby trójkątne.
RtfGpl33xWs4t
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Wszystkie jedynki z lewej strony, czyli pierwsze pola każdego wiersza wyróżniono kolorem i opisano jako jedynki. Następnie wszystkie drugie wyrazy każdego wiersza wyróżniono kolorem i opisano jako kolejne liczby naturalne bez zera. Są to, rozpoczynając od drugiego wiersza: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Następnie kolorem wyróżniono wszystkie trzecie wyrazy każdego wiersza, zaczynając od trzeciego wiersza i opisano je jako liczby trójkątne. Są to kolejni: 1, 3, 6, 10, 15, 21.
Przykład 2
Znajdziemy siódmą liczbę trójkątną, korzystając z trójkąta Pascala.
Korzystamy z powyższego rysunku. Odczytujemy, że kolejne liczby trójkątne to: , , , , , .
Zauważamy, że:
Zatem kolejne liczby trójkątne różnią się o kolejne liczby naturalne. Siódma liczba trójkąta, będzie różniła się od szóstej o .
Siódma liczba trójkątna to .
Własność
Własność: Własność
Sumy liczb stojących w kolejnych wierszach trójkąta Pascala tworzą kolejne potęgi liczby .
RotIs5kr6ZiEw
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Obok każdego wiersza umieszczono potęgę dwójki będącą jednocześnie sumą wyrazów danego wiersza. Wiersz zerowy: 1, zerowa potęga dwójki wynosi 1, wiersz pierwszy: 1 1, pierwsza potęga dwójki wynosi 2, wiersz drugi: 1 2 1, druga potęga dwójki wynosi 4, wiersz trzeci: 1 3 3 1, trzecia potęga dwójki wynosi 8, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, czwarta potęga dwójki wynosi 16, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, piąta potęga dwójki wynosi 32, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, szósta potęga dwójki wynosi 64, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1, siódma potęga dwójki wynosi 128.
Przykład 3
Obliczymy sumę liczb w wierszu o numerze trójkąta Pascala.
Wiemy, że suma ta będzie równa potędze liczby .
.
Przykład 4
Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na fioletowo z sumą liczb zaznaczonych na żółto.
Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na zielono z sumą liczb zaznaczonych na niebiesko.
Zbadaj podobne zależności dla liczb i .
Co zauważasz?
R1L5JgiKT4LTK
Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Na fioletowo zaznaczono wyraz drugi z wiersza czwartego, czyli trójkę. Na żółto zaznaczono wyraz trzeci z wiersza trzeciego, czyli trójkę oraz wyraz trzeci z wiersza czwartego, czyli szóstkę. Na zielono zaznaczono wyraz drugi z wiersza piątego, czyli piątkę. Na niebiesko zaznaczono wyraz trzeci z wiersza piątego, czyli dziesiątkę oraz wyraz trzeci z wiersza szóstego, czyli piętnastkę.
Własność
Własność: Własność
Kwadrat liczby zapisanej na drugiej „przekątnej” trójkąta Pascala (za wyjątkiem liczby ) jest równy sumie kolejnej liczby stojącej obok w tym samym wierszu i liczby stojącej poniżej obu tych liczb.
Własność
Własność: Własność
Jeśli pierwszym elementem wiersza w trójkącie Pascala, różnym od , jest liczba pierwsza, to wszystkie pozostałe liczby w tym wierszu (za wyjątkiem ), będą przez nią podzielne.
Przykład 5
Sprawdźmy, czy liczby w wierszu o numerze spełniają własność .
Rlftwwf87YM3u
Ilustracja przedstawia wiersz szósty i siómy z trójkąta Pascala. Wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 (siódemka zaznaczona na niebiesko) 21 35 35 21 7 1.
Pierwszym elementem tego wiersza, różnym od jest . Pozostałe liczby różne od to: , , , , .
Oczywiście każda z nich dzieli się przez . Zatem liczby z tego wiersza spełniają własność .
Własność (zwana efektem kija hokejowego)
Własność: Własność (zwana efektem kija hokejowego)
Suma liczb leżących na przekątnej trójkąta (przy czym nie musi to być cała przekątna) jest równa liczbie, leżącej poniżej na przeciwnej przekątnej.
RGz10iL5PyJOf
Ilustracja przedstawia osiem pierwszych wierszy trójkąta Pascala - od zerowego do siódmego. Wyrazy zaznaczone na niebiesko układają się w pionowy łuk wybrzuszony w prawo. Są to: wyraz pierwszy z wiersza drugiego, czyli 1, wyraz drugi z wiersza trzeciego, czyli 3, wyraz trzeci z wiersza czwartego, czyli 6 oraz wyraz drugi z wiersza piątego, czyli 10. Pod trójkątem na niebieskim polu zapisano następującą sumę: 1 dodać 3 dodać 6 równa się 10. Wyrazy zaznaczone na różowo układają się w pionowy łuk wybrzuszony w lewo. Są to: wyraz piąty z wiersza czwartego, czyli 1, wyraz piąty z wiersza piątego, czyli 5, wyraz piąty z wiersza szóstego, czyli 15 oraz wyraz szósty z wiersza siódmego, czyli 21. Pod trójkątem na różowym polu zapisano następującą sumę: 1 dodać 5 dodać 15 równa się 21.
Słownik
trójkąt Pascala
trójkąt Pascala
trójkątna tablica liczb; w pierwszym wierszu tej tablicy znajduje się liczba , w następnym – dwie jedynki; w kolejnych wierszach jedynki umieszczone są na początku i końcu każdego wiersza; każda liczba „środkowa” jest sumą dwóch liczb bezpośrednio znajdujących się nad nią