Przeczytaj
Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych
Rozważania zaczniemy od prostej konsekwencji zasadniczego twierdzenia planimetrii, z której będziemy korzystać przy rozwiązywaniu kolejnych problemów.
Niech i będą odcinkami wyznaczonymi przez punkty, w których dwa okręgi są odpowiednio styczne do ich wspólnych stycznych zewnętrznych, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi obok siebie. Większy okrąg niebieski, oraz mniejszy granatowy. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta, jest styczna do okręgu niebieskiego w punkcie P, oraz styczna do okręgu granatowego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do okręgu niebieskiego w punkcie R, oraz do okręgu granatowego w punkcie S. Różowym kolorem zaznaczono odcinek PQ oraz RS.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/REXwurZT97Ud0/1645453481/27Gg87nEUjgI7nFoRbPnhFpdcMFwIRW4.png)
Wtedy .
Zauważmy, że w przypadku równości promieni, wspólne styczne zewnętrzne obu okręgów byłyby równoległe, a czworokąt byłby prostokątem. Teza twierdzenia byłaby wówczas oczywista. Przypuśćmy więc, że promienie są różne. Wtedy proste i przetną się – ich punkt wspólny oznaczmy przez . Nie zmniejszając ogólności, możemy przyjąć (jak sugeruje rysunek), że punkt leży pomiędzy punktami i . Wtedy oraz . Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że oraz . Stąd , zatem .
Rozważmy dwa okręgi. Punkty i leżą odpowiednio na jednej z dwóch wspólnych stycznych zewnętrznych do tych okręgów, w taki sposób, że odcinek jest zawarty w jednej ze wspólnych stycznych wewnętrznych do tych okręgów, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie styczne, które są wspólne dla obu okręgów. Styczne połączono prostą AC, która przechodzi między okręgami i jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie D, oraz do styczna do okręgu drugiego w punkcie B.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RBDnXqMHUR4sF/1645453482/23jCfEYWsliDsAeIiFXAE19m5CHKaywZ.png)
Pokażemy, że .
W tym celu zaznaczymy odpowiednio punkty styczności.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie P, i do drugiego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do pierwszego okręgu w punkcie R, i do drugiego w punkcie S. Styczne połączono prostą AC, która przechodzi między okręgami i jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie D, oraz do styczna do okręgu drugiego w punkcie B.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RU7gSgyxxfxvx/1645453482/1JydICaOArv2ls8MnoZ5rYjSehd9vMxM.png)
Z wcześniejszego twierdzenia wynika, że , czyli . Ale z twierdzenia o odcinkach stycznych (zasadniczego twierdzenia planimetrii) otrzymujemy w szczególności, że , , oraz . Stąd, wynikającą z twierdzenia o stycznych do dwóch okręgów równość możemy zapisać w postaci . Pozostaje jeszcze zauważyć, że oraz , zatem równość przyjmuje postać . Stąd , czyli .
Rozważmy dwa okręgi. Każdy z punktów i leży na innej z dwóch wspólnych stycznych wewnętrznych do tych okręgów, które to styczne przecinają wspólną styczną zewnętrzną w punktach odpowiednio i , jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono prostą L, styczną do okręgu pierwszego w punkcie R i do okręgu drugiego w punkcie S. Między okręgami poprowadzono dwie proste, styczne do obu okręgów, przecinające się wzajemnie w punkcie M. Zaznaczono punkt styczności A do okręgu pierwszego, oraz punkt styczności C do okręgu drugiego. Prosta L jest przecięta przez styczne w punkcie B i D. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AB oraz CD.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RThLaQAb1gonb/1645453483/2DSnvsDSsy99jc3lUOcvyBeByiMGJHfm.png)
Pokażemy, że .
Podobnie, jak w Przykładzie 1. zaczniemy od oznaczenia widocznych na rysunku punktów styczności i punktu – wspólnego dla stycznych wewnętrznych.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono prostą P, styczną do okręgu pierwszego w punkcie R i do okręgu drugiego w punkcie S. Między okręgami dwie proste, styczne do obu okręgów, przecinające się wzajemnie w punkcie M. Pierwsza z nich jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie P, i do okręgu drugiego w punkcie C. Druga z nich jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie A i do okręgu drugiego w punkcie Q. Prosta L jest przecięta przez styczne w punkcie B i D. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AB oraz CD.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RtDaiyR2Cn4Ha/1645453483/1kzVZQiKEBXNKqtnf2iKFfviisaCiXIp.png)
Mamy wówczas, że oraz . Podobnie oraz . Z twierdzenia o odcinkach stycznych poprowadzonych z punktu oraz z punktu otrzymujemy w szczególności, że oraz . Odejmując stronami ostatnie równości dostajemy, że . Z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy ponadto, że , , oraz , zatem powyższa równość przyjmuje postać . Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych mamy , czyli , a stąd .
Potęga punktu względem okręgu
Rozważmy okrąg o środku w punkcie i punkt leżący na zewnątrz okręgu. Z tego punktu poprowadźmy styczną oraz sieczną tego okręgu, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RX8iymGhzk0Q9/1645453484/otAVvZcpfQwvQawsJXvgBczdCbPXzyvk.png)
Niech będzie punktem styczności, a , będą punktami, w których sieczna przecina dany okrąg. Okazuje się, że niezależnie od wyboru siecznej.
Dla dowodu pokażemy, że trójkąty i są podobne. Skorzystamy w tym celu z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku i z faktu, że promień jest prostopadły do stycznej .
![Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przecinającą okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P. Zielonym kolorem zaznaczono odcinek AO, oraz OR. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AQ, oraz AR.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R8T3Cw9pMmDX0/1645453485/2X14uMrsAM1cYmkBrI0ziAk2l47ed2BW.png)
Oznaczmy . Wtedy oraz . Ale to oznacza, na mocy cechy podobieństwa trójkątów, że trójkąty i są podobne. Stąd, w szczególności , czyli .
Otrzymana zależność, która w programach szkolnych nosi nazwę twierdzenia o odcinkach stycznej i siecznej, jest szczególnym przypadkiem szerszego zagadnienia zwanego pod nazwą potęgi punktu względem okręgu. Aby je wprowadzić, wróćmy do naszego zagadnienia stycznej i siecznej, ale rozważmy sieczną, która zawiera średnicę okręgu, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono prostą, styczną do okręgu w punkcie A, oraz prostą przechodzącą przez środek okręgu i przecinającą okrąg w punkcie Q i R . Proste przecinają się w punkcie P. Zielonym kolorem zaznaczono odcinek AO, oraz OR. Różowym kolorem zaznaczono odcinek AQ, oraz AR.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1OKcQfRsDNhZ/1645453485/2bStmlyfnvEPmhHvSeIKzdQq04S5vH9Z.png)
Oznaczmy przez promień danego okręgu, a przez oznaczmy odległość punktu od środka okręgu.
Wtedy . Dla danego okręgu i danego punktu wielkość nazywamy potęgą punktu względem okręgu.
Okazuje się, że pojęcie potęgi punktu względem okręgupotęgi punktu względem okręgu można uogólnić na punkty leżące na okręgu (wówczas potęga jest równa ) oraz punkty wewnętrzne okręgu (potęga jest wtedy ujemna). Przydatne jest operowanie także pojęciem prostej potęgowejprostej potęgowej, która została pośrednio zdefiniowana w ćwiczeniach do niniejszej lekcji.
Pozostaje zapisać prosty wniosek, dotyczący różnych siecznych. Niech , oraz , będą punktami, w których dwie różne sieczne przecinają odpowiednio dany okrąg, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono okrąg. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta przecina okrąg w punkcie M i N. Druga prosta przecina okrąg w punkcie Q i R. Proste przecinają się w punkcie P.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Ys5LjyRC4o6/1645453486/R2scOBVjiEKVJVAPeNX9Ol9tDOJuLAnN.png)
Wtedy .
Wróćmy teraz do zagadnienia ze wstępu do niniejszej lekcji. Pokażemy równość odcinków i , wyznaczonych na stycznych do dwóch przecinających się okręgów, jak na poniższym rysunku
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi przecinające się w punktach Q i R, przez które przechodzi prosta. Poprowadzono prostą styczną do okręgu pierwszego w punkcie A, oraz styczną do okręgu drugiego w punkcie B. Trzy proste przecinają się w punkcie P.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1VARqRPotow9/1645453486/89PRyg1PQqO0GU2gf4bvWLc9xeYMMqSp.png)
Zauważmy, że oraz . Stąd wynika równość i postawiona teza.
Słowniczek
dla niewspółśrodkowych okręgów zbiorem punktów, dla których ich potęga względem obu okręgów jest taka sama, jest prosta, którą nazywamy prostą potęgową lub osią potęgową
dla danego punktu i dla danego okręgu o środku w punkcie i promieniu wyrażenie nazywamy potęgą tego punktu względem danego okręgu