Dane są wielomiany $F\left(x\right)$ i $G\left(x\right)$. 
Iloczynem wielomianówiloczyn wielomianówIloczynem wielomianów $F\left(x\right)$ i $G\left(x\right)$ nazywamy taki wielomian $W\left(x\right)$, że dla każdej liczby $a\in \mathrm{ℝ}$ spełniony jest warunek:

Pokażemy, jak wyznaczyć iloczyn wielomianu $W\left(x\right)=5x^3+4x^2-2x+9$ przez wielomian $P\left(x\right)=2x^2-13x-7$.

• Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ nie są wielomianami zerowymi, to $\text{deg}\left(W\left(x\right)·P\left(x\right)\right)=\text{deg}\left(W\left(x\right)\right)+\text{deg}\left(P\left(x\right)\right)$.

• Jeżeli $W\left(x\right)$ lub $P\left(x\right)$ jest wielomianem zerowym, to $W\left(x\right)·P\left(x\right)$ jest wielomianem zerowym.

Dany jest wielomian ósmego stopnia $F\left(x\right)=2x^8-3x^5+7x^3+5$.

• Dla wielomianu siódmego stopnia $G\left(x\right)=5x^7-3x^2+x+4$ iloczyn
  $F\left(x\right)·G\left(x\right)=10x^{15}-15x^{12}+29x^{10}+2x^9+8x^8+34x^7-3x^6+$
  $-33x^5+7x^4+28x^3-15x^2+5x+20$
  będzie wielomianem stopnia $15$.

• Dla wielomianu drugiego stopnia $G\left(x\right)=-3x^2+2x+4$ iloczyn
  $F\left(x\right)·G\left(x\right)=-6x^{10}+4x^9+8x^8+9x^7-6x^6-33x^5+14x^4+$
  $+28x^3-15x^2+10x+20$
  będzie wielomianem stopnia $10$.

• Dla wielomianu zerowego $G\left(x\right)$ iloczyn $F\left(x\right)·G\left(x\right)$ będzie wielomianem zerowym.

Obliczmy iloczyn $\left(3x^7-2x^5+4\right)·\left(3x^7-2x^5+4\right)$.

• Zauważmy, że możemy go zapisać jako ${\left(3x^7-2x^5+4\right)}^2$.

• Możemy zatem zastosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników:
  ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$.

• Uzyskamy
  $9x^{14}+4x^{10}+16-12x^{12}-16x^5+24x^7$.

• Po uporządkowaniu mamy
  $9x^{14}-12x^{12}+4x^{10}+24x^7-16x^5+16$.

Obliczmy iloczyn $\left(3x^7-2x^5+4\right)·\left(3x^7+2x^5+4\right)$.

• Po pogrupowaniu wewnątrz nawiasów możemy go zapisać w postaci
  $\left(\left(3x^7+4\right)-2x^5\right)·\left(\left(3x^7+4\right)+2x^5\right)$.

• Daje to możliwość zastosowania wzoru skróconego mnożenia
  $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$.

• Uzyskamy ${\left(3x^7+4\right)}^2-4x^{10}=9x^{14}+24x^7+16-4x^{10}=9x^{14}-4x^{10}+24x^7+16$.

Obliczmy iloczyn $\left(2x^4-3x^3+5x-1\right)·\left(-3x^2+7x-9\right)$.

Szukany iloczyn wynosi $-6x^6+23x^5-39x^4+12x^3+38x^2-52x+9$.

dla wielomianów $F\left(x\right)$ i $G\left(x\right)$ to wielomian $W\left(x\right)$ taki, że dla każdej liczby $a\in \mathrm{ℝ}$ spełniony jest warunek: