Prostopadłościan – budowa

Przykład 1

RwjgBpbGYGLN61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Podstawami prostopadłościanu są przystające prostokąty leżące w płaszczyznach równoległych. Każda ściana boczna jest prostokątem prostopadłym do podstaw.
Prostopadłościan ma $8$ wierzchołków i $12$ krawędzi. Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka nazywamy wymiarami prostopadłościanu. Są to odpowiednio: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

R1SGvD0OVyUUu1

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi: podstawą górną, podstawą dolną, wierzchołkiem, ścianą boczną, krawędzią podstawy i krawędzią boczną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa $100 cm$ . Oblicz wysokość $H$ prostopadłościanu, wiedząc, że jego podstawą jest kwadrat o boku długości $3 cm$ .
Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2 ∙ 4 ∙ 3 cm = 24 cm

R5tsL1buz5Uc41

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy sumę długości krawędzi bocznych.

100 cm - 24 cm = 76 cm

Obliczamy długość krawędzi bocznej, czyli wysokość prostopadłościanu.

4 ∙ H = 76

H = 76 : 4

H = 16 cm

Wysokość prostopadłościanu jest równa $16 cm$ .
Oświetlając prostopadłościan, zobaczymy na ekranie jego rzut, będący figurą płaską.

Przykład 3

Weź do ręki pudełko zapałek i obracając je w różne strony, spróbuj określić, jakie figury mogą być jego rzutami.
Czy rzutem prostopadłościanu może być trójkąt, prostokąt, pięciokąt, siedmiokąt?

Ciekawostka

Gaspard Monge $(1746 - 1818)$ był francuskim matematykiem, uważanym za ojca geometrii wykreślnej. Był wykładowcą w wojskowej szkole, gdzie nauczał konstruowania twierdz i umocnień militarnych.

Przykład 4

Przypomnij sobie jeden ze sposobów rysowania prostopadłościanu o danej wysokości.
Pamiętaj, że podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, który na płaszczyźnie przedstawiamy jako równoległobok.

RJFvDw1pr4gJg1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DL1BgrU0r

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 5

Narysuj prostopadłościan, zaczynając rysunek od narysowania jego dwóch ścian bocznych.

iV36Ixb3aM_d5e205

Przekątna prostopadłościanu

Definicja: Przekątna prostopadłościanu

Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

RS52KD9sJfAdK1

Przykład 6

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o długości $4 cm$ , szerokości $3 cm$ . Przekątna bryły ma długość $13 cm$ . Oblicz wysokość prostopadłościanu.

RZBqEdfnMF9bq1

Obliczamy najpierw długość $d (d > 0)$ przekątnej podstawy prostopadłościanu – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

4^{2} + 3^{2} = d^{2}

16 + 9 = d^{2}

d^{2} = 25

d = 5

Zauważmy teraz, że trójkąt utworzony przez przekątną prostopadłościanu, przekątną podstawy i krawędź boczną h (wysokość) jest prostokątny.
Skorzystamy ponownie z twierdzenia Pitagorasa i obliczymy wysokość prostopadłościanu.

h^{2} + d^{2} = 13^{2}

h^{2} + 5^{2} = 13^{2}

h^{2} + 25 = 169

h^{2} = 144

h = 12

Wysokość prostopadłościanu jest równa $12 cm$ .

Siatka prostopadłościanu

RZgOqHY6k5J2P1

R8diH9BEOdtba1

Wykonanie kartonowego modelu prostopadłościanu wymaga skonstruowania jego siatki.
Wielokąty składające się na siatkę są prostokątami, a ich wymiary są równe odpowiednio długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu.

Rysując siatkę prostopadłościanu, warto pamiętać, że przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami.

iV36Ixb3aM_d5e309

Pole powierzchni prostopadłościanu

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól jego podstaw i ścian bocznych.

RNVwStULHvNly1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P_{c} = P_{p} + P_{b}

$P_{c}$ - pole powierzchni całkowitej
$P_{p}$ -pole powierzchni podstaw
$P_{b}$ - pole powierzchni ścian bocznych

P_{c} = 2 ab + 2 ac + 2 bc = 2 (ab + ac + bc)

Przykład 7

Znajomość siatki prostopadłościanu pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.
Pole prostopadłościanu o długości $d$ , szerokości $s$ i wysokości w jest sumą sześciu prostokątów parami przystających o wymiarach: $d$ i $s$ , $d$ i $w$ , $s$ i $w$ .

P = 2 (ds + dw + sw)

R1W1q52TuCeRj1

Przykład 8

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o długości $a = 1,8 dm$ , szerokości $b = 5 cm$ i wysokości $h = 0,14 m$ .
Zapiszemy wszystkie wymiary prostopadłościanu w tej samej jednostce, np. w centymetrach.

a = 1,8 dm = 18 cm, h = 0,14 m = 14 cm

R1WMDVmxBmUQM1

Obliczamy pola podstaw jako sumę pól dwóch przystających prostokątów o wymiarach
$18 cm$ na $5 cm$ .

P_{p} = 2 ∙ (5 ∙ 18)

P_{p} = 180 {cm}^{2}

Ściany boczne stanowią dwa prostokąty o wymiarach $14 cm$ na $18 cm$ i dwa o wymiarach
$14 cm$ na $5 cm$ . Obliczamy pole powierzchni bocznej.

P_{p} = 2 ∙ (14 ∙ 18) + 2 ∙ (14 ∙ 5)

P_{p} = 504 + 140

P_{p} = 644 {cm}^{2}

Obliczamy pole powierzchni całkowitej.

P_{c} = P_{p} + P_{b}

P_{c} = 180 + 644

P_{c} = 824 {cm}^{2}

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $824 {cm}^{2}$ .

Przykład 9

Garderoba ma kształt prostopadłościanu bez przedniej ścian,y i wymiary takie, jak na rysunku. Marek obliczył, że aby pomalować wszystkie ściany musi kupić $4$ puszki farby. Ile puszek farby musi kupić, aby pomalować również sufit? Jedna puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni.
Puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni, a więc $4$ puszki wystarczą na pomalowanie $4 ∙ 5 m^{2} = 20 m^{2}$ powierzchni. Wynika z tego, że pole powierzchni ścian garderoby wynosi $20 m^{2}$ .
Oznaczmy $x$ – długość garderoby. Wtedy pole powierzchni ścian garderoby można zapisać w postaci: $2 ∙ 2 ∙ 2,5 + x ∙ 2,5$ . Porównujemy otrzymane wielkości i wyznaczamy $x$ .

2 ∙ 2 ∙ 2,5 + x ∙ 2,5 = 20

10 + 2,5 x = 20, 2,5 x = 10, x = 4 m

Obliczamy pole powierzchni sufitu garderoby.

4 m ∙ 2 m = 8 m^{2}

Obliczamy, że na pomalowanie sufitu potrzeba $8 : 5 = 1,5$ puszek farby.
Marek musi więc dokupić jeszcze $2$ puszki farby.

Objętość prostopadłościanu

Ważne!

Objętość prostopadłościanu to iloczyn jego długości, szerokości i wysokości.

RpBKmrcic7Lx41

V = abc

Przykład 10

Obliczymy wysokość kontenera o kubaturze $70000 {dm}^{3}$ , szerokości $20 dm$ i długości $125 dm$ .
Kubatura to inaczej objętość kontenera. Korzystamy więc ze wzoru na objętość prostopadłościanu i wyznaczamy jego wysokość $h$ .

20 ∙ 125 ∙ h = 70000

h = 70000 : 2500

h = 280 dm = 2,8 m

Wysokość kontenera wynosi $2,8 m$ .

iV36Ixb3aM_d5e463

Sześcian

Przykład 11

R3sE2KbpfEtjQ1

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcianem.
Siatka sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów. Kwadraty te mogą układać się w jedenaście różnych konfiguracji.

R17lAXXZmKmlK1

R1EgN3tj6cmXF1

Różne siatki można uzyskać, rozcinając odpowiednio sześcian.
Mając jedną z siatek, pozostałe można uzyskać, przesuwając kwadraty, z których jest zbudowana.

Ważne!

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości $a$ jest równe sumie pól sześciu przystających kwadratów o boku długości $a$

P = 6 a^{2}

Objętość sześcianu o krawędzi długości a jest równa

V = a^{3}

Przykład 12

Oblicz pole powierzchni sześcianu, którego objętość jest równa $27 {dm}^{2}$ .
Obliczamy długość a krawędzi sześcianu.

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni sześcianu.

P = 6 a^{2}

P = 6 ∙ 3^{2}

P = 54 {cm}^{2}

Pole powierzchni sześcianu jest równe $54 {cm}^{2}$ .

Przykład 13

Przekątna ściany bocznej sześcianu jest równa $\frac{3}{4} \sqrt{2}$ . Oblicz objętość sześcianu.
Obliczamy długość a krawędzi sześcianu – korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

a \sqrt{2} = \frac{3}{4} \sqrt{2}

a = \frac{3}{4}

Obliczamy objętość sześcianu.

V = {(\frac{3}{4})}^{3}

V = \frac{27}{64}

Objętość sześcianu jest równa $\frac{27}{64}$ .

Ciekawostka

Już w starożytności zastanawiano się, czy można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki krawędzie sześcianu, którego objętość byłaby dwukrotnie większa od objętości danego sześcianu.
Problem ten, zwany podwojeniem sześcianu, starało się rozwiązać wielu matematyków również w czasach nowożytnych. Jednak dopiero w $XIX$ wieku udowodniono, że zadanie to nie ma rozwiązania.
Podwojenie sześcianu, kwadratura koła (czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła) i trysekcja kąta (czyli podział kąta na trzy równe części) tworzą trójkę klasycznych konstrukcji, których nie można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki.

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Wymiary prostopadłościanu	Suma długości krawędzi prostopadłościanu
$4 cm x 6 cm x 10 cm$	$. . . cm$
$2 dm x 34 cm x 6 cm$	$\dots dm$
$7 m x 8 m x 1 m$	$\dots$

Tabela. Dane
Wymiary prostopadłościanu	Suma długości krawędzi prostopadłościanu
$4 cm x 6 cm x 10 cm$	$80 cm$
$2 dm x 34 cm x 6 cm$	$24 dm$
$7 m x 8 m x 1 m$	$64 m$

Ćwiczenie 2

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o przekątnej długości $a$ . Wysokość prostopadłościanu jest równa $H$ . Oblicz długość przekątnej $d$ prostopadłościanu.

Tabela. Dane
$a = 10, H = 24$	$d = \dots$
$a = 8, H = 15$	$d = \dots$
$a = 7, H = 24$	$d = \dots$

Tabela. Dane
$a = 10, H = 24$	$d = 26$
$a = 8, H = 15$	$d = 17$
$a = 7, H = 24$	$d = 25$

Ćwiczenie 3

Podstawą prostopadłościanu jest wielokąt foremny. Przekątna prostopadłościanu ma długość $25 dm$ , a wysokość $24 dm$ . Wtedy

pole podstawy jest równe …
pole ściany bocznej jest równe ....
pole powierzchni całkowitej jest równe …

$24,5 {dm}^{2}$
$\frac{4 ∙ 24 ∙ 7}{\sqrt{2}} = \frac{672}{\sqrt{2}} {dm}^{2}$
$49 + \frac{672}{\sqrt{2}} {dm}^{2}$

Ćwiczenie 4

Wysokość prostopadłościanu jest równa $15 cm$ , a jego przekątna $25 cm$ . Podstawą bryły jest kwadrat. Oblicz

długość przekątnej podstawy
pole podstawy
pole powierzchni bocznej

$20 cm$
$200 {cm}^{2}$
$\frac{1200}{\sqrt{2}} = \frac{1200 \sqrt{2}}{2} = 600 \sqrt{2} {cm}^{2}$

Ćwiczenie 5

Narysuj siatkę prostopadłościanu przedstawionego na rysunku i oblicz jego pole powierzchni bocznej.

RmHpn9pgcsCWj1

$308 {cm}^{2}$
$54 {cm}^{2}$
$96 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 6

Znajdź wzór na długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości $a$ , $b$ i $c$ .

$d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Ćwiczenie 7

Objętość prostopadłościanu wynosi $256 {cm}^{3}$ . Krawędź boczna jest cztery razy dłuższa od szerokości krawędzi podstawy oraz dwa razy krótsza od długości podstawy. Oblicz wymiary tego graniastosłupa.

długość - $16 cm$ , szerokość - $2 cm$ , wysokość - $8 cm$

iV36Ixb3aM_d5e761

Ćwiczenie 8

Pojemnik na wodę ma kształt prostopadłościanu. Pole powierzchni kwadratowej podstawy pojemnika jest równe $400 {cm}^{2}$ . Pole powierzchni ściany bocznej wynosi $60 {cm}^{2}$ . Oblicz objętość tego pojemnika.

Krawędź podstawy jest równa $20 cm$ , wysokość - $3 cm$ , stąd objętość jest równa $1200 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 9

Pojemnik z wodą ma kształt prostopadłościanu o podstawie w kształcie prostokąta o wymiarach $80 cm$ na $60 cm$ . Wysokość pojemnika wynosi $34 cm$ . Do pojemnika wrzucono metalowy klocek , który całkowicie zanurzył się w wodzie. Poziom wody podniósł się o $2 cm$ . Jaką objętość ma klocek?

klocek miał objętość wypartej wody, czyli $80 cm ∙ 60 cm ∙ 2 cm = 9600 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 10

Jak zmieni się objętość prostopadłościanu, jeśli:

podstawy nie zmienimy, a wysokość zwiększymy trzykrotnie,
wysokości nie zmienimy, a każdą z krawędzi podstawy zwiększymy dwukrotnie,
wszystkie krawędzie graniastosłupa zwiększymy pięciokrotnie?

Trzykrotnie się zwiększy.
Czterokrotnie się zwiększy.
Powiększy się $125$ krotnie.

Ćwiczenie 11

Przekątna jednej ściany bocznej prostopadłościanu ma długość $10$ i tworzy z krawędzią boczną kąt $30 °$ . Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat.
Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

$5, 5, 5 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 12

Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ . Podstawą jest kwadrat o boku długości $4$ . Oblicz wysokość tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej.

Długość przekątnej jest równa $8 \sqrt{2}$ , wysokość prostopadłościanu wynosi $4 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 13

Dany jest sześcian o krawędzi długości $2 cm$ . Oblicz podane wielkości.

Pole powierzchni sześcianu.
Objętość sześcianu.
Długość $d$ przekątnej ściany bocznej.

$24 {cm}^{2}$
$8 {cm}^{2}$
$2 \sqrt{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Pole powierzchni sześcianu jest równe $294$ . Suma długości jego krawędzi jest równa

RtTvAd2DNpvEI

$49$
$84$
$28$
$343$

static

Ćwiczenie 14

Pole powierzchni sześcianu jest równe $294$ . Suma długości jego krawędzi jest równa

R1dPXaC0qMVl5

$49$
$84$
$28$
$343$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Objętość sześcianu jest równa $64 {dm}^{3}$ . Przekątna ściany bocznej ma długość

RXRPkNaGb9ztM

$6 \sqrt{2} dm$
$8 \sqrt{2} dm$
$4 dm$
$4 \sqrt{2} dm$

static

Ćwiczenie 15

Objętość sześcianu jest równa $64 {dm}^{3}$ . Przekątna ściany bocznej ma długość

RcsdYWTRtGaIh

$6 \sqrt{2} dm$
$8 \sqrt{2} dm$
$4 dm$
$4 \sqrt{2} dm$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Pole powierzchni siatki sześcianu jest równe $8,64$ .Objętość sześcianu jest

R18LKBOxonXIt

większa od $1,5$
mniejsza od $1,4$
większa od $2$
mniejsza od $1,2$

static

Ćwiczenie 16

Pole powierzchni siatki sześcianu jest równe $8,64$ .Objętość sześcianu jest

R1UNNYxwGgbIg

większa od $1,5$
mniejsza od $1,4$
większa od $2$
mniejsza od $1,2$

Ćwiczenie 17

Oblicz:

długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości $10 cm$ ,
objętość sześcianu o przekątnej długości $1 m$ ,
pole powierzchni sześcianu o przekątnej długości $a$ .

$10 \sqrt{3} cm$
$1 m^{3}$
$\frac{a^{3}}{\sqrt{27}}$

Ćwiczenie 18

Suma długości krawędzi sześcianu wynosi $360 cm$ . Oblicz objętość tego sześcianu i jego pole powierzchni.

Objętość jest równa $27 000 {cm}^{3}$ .
Pole powierzchni wynosi $5400 {cm}^{3}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RE3JGUynmDglQ

Każdy sześcian jest prostopadłościanem.
Przekątne w prostopadłościanie są tej samej długości.
Każdy prostopadłościan można przedstawić jako sumę sześcianów.

static

Ćwiczenie 20

Ile waży powietrze wypełniające pudełko, które ma kształt prostopadłościanu o wymiarach
$2 cm x 4 cm x 3 cm$ ? Przyjmij, że $1 m^{3}$ powietrza waży $1,2 kg$ .

$24 {cm}^{3} = 0,000024 {cm}^{3} to 0,0000288 kg = 0,0288 g$

Ćwiczenie 21

Prostopadłościenny litrowy pojemnik wypełniony jest wodą. Dno pojemnika ma wymiary
$4 cm$ na $3 cm$ . Z pojemnika odlano $0,24 l$ wody.
O ile centymetrów obniżył się poziom wody w pojemniku?

o $63 \frac{1}{2} cm$

Ćwiczenie 22

W ilu co najmniej kartonach zmieści się litr soku, jeśli kartony mają wymiary zewnętrzne
$5 cm x 10 cm x 20 cm$ ? Przyjmij, że grubość ścianki wynosi $0,5 mm$ .

Jeden karton ma pojemność $945,349 {cm}^{3}$ . Zatem trzeba co najmniej $2$ kartony .

Ćwiczenie 23

Zaprojektuj prostopadłościenny kuferek, który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności $42 l$ .

$42 l = 42 {dm}^{3}$
Kuferek może mieć wymiary $7 dm$ na $3 dm$ na $2 dm$

Ćwiczenie 24

R1DqFijnbsyXX1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13sHFliamWQo1

Wielokąty w układzie współrzędnych

Graniastosłup - opis

Prostopadłościan

Prostopadłościan – budowa

Przekątna prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Objętość prostopadłościanu

Sześcian