1. Odczytywanie własności funkcji z wykresu

R1BSKCZJX2EKF

Wykresy w wielu dziedzinach są nośnikami ważnych informacji: finansowych, giełdowych, statystycznych, medycznych. Wiemy, że jednym z powszechnie wykonywanych badań lekarskich jest elektrokardiogram. Wynik badania otrzymujemy w postaci wykresu funkcji napięcia elektrycznego, wytworzonego na skutek skurczu mięśnia sercowego, w zależności od czasu. Na podstawie takiego wykresu można odczytać prawidłową lub zaburzoną czynność serca.

RHEE19VDK54ZG

Ilustracja przedstawia dwa odczyty czynności serca. Z lewej strony znajduje się prawidłowy odczyt rytmu serca, jest on okresowy, czyli powtarza się co jakiś okres. Po prawej stronie znajduje się odczyt zaburzonego rytmu serca, jest on nieregularny.

Umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu, jak widzimy powyżej, jest bardzo przydatna nie tylko z punktu widzenia umiejętności matematycznych. W tym temacie skupimy się na doskonaleniu umiejętności matematycznych w zakresie odczytywania własności funkcji z wykresu.

Twoje cele

Odczytasz z wykresu funkcji:
- jej dziedzinę,
- zbiór wartości,
- miejsca zerowe,
- argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
- argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
- maksymalne przedziały monotoniczności funkcji,
- różnowartościowość funkcji,
- najmniejszą/największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.

Odczytywanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcjidziedzina funkcjiDziedzina funkcji takiej, że $y = f (x)$ to zbiór wszystkich argumentów $x$ , dla których funkcja jest określona. Dziedzinę funkcji $f$ oznaczamy przez $D$ lub $D_{f}$ .

R79F7OHK92LMA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 5 i pionową osią y od minus 3 do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment to ukośny odcinek zaczynający się w punkcie nawias minus sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończący się w punkcie nawias minus trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu. Na oś x naniesiono rzuty obu fragmentów wykresu, są to odcinki od minus sześciu do minus trzech i od minus dwóch do trzech.

Na rysunku powyżej mamy wykres funkcji $f$ . Jej dziedziną jest zbiór:

$D_{f} = ⟨- 6, - 3⟩ \cup ⟨- 2, 3⟩$ . Na rysunku został on zaznaczony na osi $X$ kolorem pomarańczowym.

Odczytywanie zbioru wartości funkcji

Z wykresu funkcji często można odczytać nie tylko wartość, jaką ta funkcja przyjmuje dla danego argumentu, ale także zbiór wszystkich liczb, które są wartościami tej funkcji.
Zbiór ten nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji $f : D \to Y$ to zbiór tych wszystkich $y \in Y$ , dla których istnieje taki argument $x \in D$ , że $f (x) = y$ . Zbiór wartości funkcji $f$ oznaczamy przez $f (D)$ lub $f (D_{f})$ albo po prostu $Z W_{f}$ .

R15N33RVS23GL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie którego wartość y jest równa 6, a wartość x jest mniejsza niż 1. Oba punkty należące do tego fragmentu są zamalowane. Drugi fragment to ukośny odcinek rozpoczynający się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średni minus trzy, a kończy się w niezamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa. W układzie zaznaczono dodatkowo dwa zamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz dwa niezamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. W układzie liniami przerywanymi zaznaczono również cztery poziome proste o równaniach y, równa się, sześć, y, równa się, minus, jeden, y, równa się, minus, dwa oraz y, równa się, minus, trzy.

Przy odczytywaniu zbioru wartości funkcji wygodnie jest poprowadzić odpowiednie proste poziome (równoległe do osi $X$ ). Zbiór wartości funkcji przedstawionej na rysunku został zaznaczony na osi $Y$ kolorem wrzosowym. Zapisujemy: $Z W_{f} = (- 3, - 2) \cup ⟨- 1, 6⟩$ .

Odczytywanie miejsc zerowych funkcji

R1AVB52CTPPJQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z trzech fragmentów. Pierwszy fragment jest ukośnym odcinkiem zaczynającym się w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik minus dwa i kończącym się w punkcie nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się również w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez środek układu współrzędnych. Trzeci fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu.

Miejsca zerowe funkcji odczytamy z wykresu. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osią $X$ – miejsca te zostały zaznaczone na rysunku kolorem czerwonym. Miejsca zerowe to argumenty, dla których $f (x) = 0$ , w tym przypadku mamy trzy miejsca zerowe, $x = - 4$ , $x = 0$ oraz $x = 4$ , dla tych argumentów $f (- 4) = 0$ , $f (0) = 0$ oraz $f (4) = 0$ .

Odczytywanie wartości dodatnich lub ujemnych funkcji

R1RB4MUJBBGM1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 5 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik jeden, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w puncie nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu biegnie po łuku do punktu nawias pięć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie po łuku do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

Wartości dodatnie funkcji odczytamy z części wykresu nad osią $X$ , która składa się z punktów o drugiej współrzędnej dodatniej, co oznacza, że nierówność $f (x) > 0$ zachodzi dla $x \in (1, 3)$ . Wartości nieujemne funkcji odczytamy, gdy $f (x) ⩾ 0$ a to zachodzi dla $x \in ⟨1, 3⟩ \cup \{8\}$ .

Wartości ujemne funkcji odczytamy z części wykresu poniżej osi $X$ , która składa się z punktów o drugiej współrzędnej ujemnej, co oznacza, że nierówność $f (x) < 0$ zachodzi dla $x \in (3, 8)$ . Wartości niedodatnie funkcji odczytamy wtedy, gdy $f (x) ⩽ 0$ a to zachodzi dla $x \in \{1\} \cup ⟨3, 8⟩$ .

Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji

R9HLEM7Q6NA92

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osią y od minus 2 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w niezamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus jeden, gdzie zmienia swój bieg i ukośnie do punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Znajdujemy na osi $X$ maksymalne przedziały monotoniczności funkcjifunkcje monotonicznemonotoniczności funkcji $f$ .

Na podanym wykresie funkcja jest:

malejąca w przedziale $(- 3, 2⟩$ ,

rosnąca w przedziale $⟨2, 4⟩$ ,

stałafunkcja stałastała w przedziale $⟨4, 6)$ .

Odczytywanie różnowartościowości funkcji

RS76S6MXEH59T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 9 i pionową osią y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli przecinają oś x w punktach nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, drugi punkt ma współrzędne nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Na paraboli zaznaczono dwa punkty, pierwszy z nich ma współrzędne nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a drugi z nich ma współrzędne nawias pięć średnik trzy zamkniecie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono prostą o równaniu y, równa się, trzy, przechodzi ona przez punkty zaznaczone na paraboli. Z punktów tych liniami przerywanymi poprowadzono odcinki łączące je z osią x.

Funkcja nie jest różnowartościowa, bo istnieją dwa różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Wystarczy, gdy narysujemy na przykład prostą $y = 3$ . Przecina ona wykres funkcji w punktach $(1, 3)$ i $(5, 3)$ . Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość równą $3$ dla $x = 1$ i $x = 5$ .

Odczytywanie najmniejszej lub największej wartości funkcji

R3TNVX5X7VRKE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, krzywa ta biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Z W = ⟨- 3, 2⟩

Najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa $(- 3)$ . Jest ona przyjmowana np. dla $x = 2$ . Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najniżej na wykresie.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa $2$ . Jest ona przyjmowana dla $x = 4$ . Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najwyżej na wykresie.

R3R2EEJFRKXA5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w środku układu współrzędnych.

Z W = ⟨0, \infty)

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨0, \infty)$ . Najmniejsza wartość funkcji $f$ równa $0$ jest przyjmowana dla $x = 0$ . Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości największej.

Inne własności funkcji

Na podstawie wykresu funkcji możemy podać argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość. Zwróć uwagę, że funkcja $f$ , której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_{1}$ i $x_{2}$ .

R137C8PJK56CP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x pionową osią y . W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie odwróconej litery V. Przyjmując, że jedna kratka ma wartość jeden wierzchołek go wykresu znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono poziomą półprostą y, zaczynającą się od osi y, która znajduje się na wysokości jeden. Miejsca przecięcia się tej półprostej z wykresem f zrzucono na oś x, punkt znajdujący się bliżej osi y podpisano x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, a znajdujący się dalej od osi podpisano x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.

Zauważmy, że $f (x) > y$ dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ , natomiast $f (x) < y$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Odczytamy na podstawie wykresu funkcji $f$ jej własności.

R26N291D9XKPC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartości $f (D) = ⟨1, \infty)$ ,

miejsca zerowe funkcji $x = 0$ oraz $x = 2$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (0, 2)$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1, \infty)$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$ ,

funkcja ma wartość najmniejszą $y = - 1$ dla $x = 1$ , nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 2

Odczytamy z wykresu funkcji $f$ jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartości dodatnie oraz ujemne, najmniejszą wartość i największą wartość oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.

R11AN3O9ZJEK1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 6 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch części. Pierwsza z nich zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię tej paraboli rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik try zamknięcie nawiasu, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie którego wartość y jest równa minus pięć.

Rozwiązanie:

$D = ⟨- 4, 3)$ ,

$f (D) = (- 5, 4⟩$ ,

miejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $x = - 2$ oraz $x = 2$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 4, - 1)$ oraz $⟨- 1, 0⟩$ , malejąca w przedziale $⟨0, 3)$ ,

wartości dodatnie $f (x) > 0$ dla $x \in (- 2, 2)$ ,
wartości ujemne $f (x) < 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 2) \cup (2, 3)$ ,
funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max} = 4$ dla $x = 0$ .

Przykład 3

Odczytamy własności funkcji $f$ , której wykres przedstawiony jest na rysunku poniżej.

RSJET6XU9VPTP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 2 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, następnie przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu nawias zero średnik siedem zamknięcie nawiasu i następie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik zero, gdzie łagodnie przechodzi do czwartej ćwiartki układu tam zmienia swój bieg i przechodząc prze punkt nawias siedem średnik zero dociera do punktu nawias dziewięć średnik cztery, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w punkcie nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza układ współrzędnych w czwartej ćwiartce układu.

Rozwiązanie:

$D = ℝ$ ,
$f (D) = (- \infty, 7⟩$ ,
miejsca zerowe funkcji $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 1, 3, 7, 10\}$ ,
funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca w przedziałach $(- \infty, 0⟩$ oraz $⟨6, 9⟩$ , malejąca w przedziałach $⟨0, 6⟩$ oraz $⟨9, \infty)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (- 1, 3) \cup (7, 10)$ ,
$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (3, 7) \cup (10, \infty)$ ,
funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max} = 7$ dla $x = 0$ ,
funkcja nie jest różnowartościowa.

Przykład 4

Z wykresu funkcji $f$ odczytamy jej miejsca zerowe, zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 0$ oraz nierówności $f (x) ⩽ 0$ .

Rozwiązanie:

RN6FC1ZFQDQ43

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden, następnie przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa dalej biegnie również po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 3)$ , $f (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 3, 6⟩$ ,

R1G3LVQDSDAQ2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do zamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

$f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, - 1, 3, 5\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in ⟨- 4, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (3, 5)$ , $f (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨- 1, 3⟩ \cup \{- 3, 5\}$ .

Poza podstawowymi własnościami funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartość największa/najmniejsza, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne) na podstawie wykresu funkcji możemy podać również argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

Funkcja $f$ , której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_{1}$ i $x_{2}$ .

RHC9DMD1BJR7P

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Ma on kształt odwróconej litery V o wierzchołku w punkcie nawias cztery średnik cztery. Jego lewe ramię przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramie przecina oś x w punkcie nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu. Na wysokości rzędnej równej jeden linią przerywaną zaznaczono poziomą półprostą podpisaną literą y. Z miejsc przecięcia się tej półprostej z wykresem poprowadzono pionowe odcinki do osi x. Pierwszy punkt zrzutowany na oś x podpisano x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, a drugi x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.

Nierówność $f (x) > y$ jest spełniona dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ , natomiast $f (x) < y$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} - 2 x + 4 & dla x \in (- \infty, 2) \\ x^{2} - 6 x + 8 & dla x \in ⟨2, 4) \\ 4 - x & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

R95ECLLEQTA1K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu aż do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik minus jeden i dalej biegnie po łuku do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias pięć średnik minus jeden i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu tej funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą.

Rozwiązanie:

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ℝ$ ,

miejsca zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji: $x = 2$ , $x = 4$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 2)$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$ ,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨3, 4⟩$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- \infty, 3⟩$ oraz dla $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani wartości największej.

Przykład 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 2 & dla x \in (- \infty, - 2) \\ |x| & dla x \in ⟨- 2, 4) \\ 3 & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

Odczytamy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 2$ i nierówności $f (x) \leq 2$ oraz dziedzinę funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą..

R1QJG1HK1MHRC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

$f (x) > 2$ dla $x \in (2, \infty)$ ,

$f (x) \leq 2$ dla $x \in (- \infty, 2⟩$ ,

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ⟨ 0, 4)$ ,

miejsce zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji: $x = 0$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨0, 4)$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- 2, 0⟩$ ,

funkcja jest stałafunkcja stałastała dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ oraz $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja ma wartością najmniejszą $y = 0$ dla $x = 0$ , nie ma wartości największej.

Przykład 7

Dany jest wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 5 & dla x \in (- \infty, - 5) \\ |x| & dla x \in ⟨- 5, 3) \\ 1 & dla x \in ⟨3, \infty) \end{cases}$ .

R7SCZXUCCL5EH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus pięć średnik pięć zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązania równań: $f (x) = 3$ i $f (x) = 1$ oraz zbiory rozwiązań nierówności $f (x) > 3$ i $f (x) \leq 1$ .

Rozwiązanie:

$f (x) = 3$ dla $x = - 3$ ,

$f (x) = 1$ dla $x \in \{- 1, 1\} \cup ⟨3, \infty)$ ,

$f (x) > 3$ dla $x \in (- \infty, - 3)$ ,

$f (x) \leq 1$ dla $x \in ⟨- 1, 1⟩ \cup ⟨3, \infty)$ ,

Przykład 8

Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ .

R9TSFQF1ELRDV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus dwa i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik dw zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie przez punkt nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązanie równania:

a) $f (x) = 0$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 0$ ,

b) $f (x) = 2$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq 2$ ,

c) $f (x) = 3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \leq 3$ .

Rozwiązanie:

a) $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 1, 1, 4\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 4)$ ,

b) $f (x) = 2$ dla $x = 2$ , $f (x) \geq 2$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩ \cup \{2\}$ ,

c) $f (x) = 3$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ , $f (x) \leq 3$ dla $x \in ℝ$ .

Przykład 9

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = x^{3}$ i $g (x) = x$ .

R1NXOPJ8AXKNE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Wykres funkcji f o kształcie funkcji trzeciego stopnia. Pojawia się on na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i biegnie dalej po łuku przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, gdzie występuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku do punk tu nawias jeden średnik jeden zamknięci nawiasu stamtąd biegnie ukośnie o wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Wykres funkcji g jest ukośną prostą, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresów:

a) rozwiązanie równania $x^{3} = x$ ,

b) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ ,

c) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

Rozwiązanie:

a) Rozwiązując równanie $x^{3} = x$ wystarczy zobaczyć na wykresie, w jakich punktach przecięły się wykresy funkcji $f$ i $g$ oraz podać pierwsze współrzędne tych punktów, więc $x \in \{- 1, 0, 1\}$ .

b) Ustalając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ obserwujemy, że wykres funkcji $f$ jest położony poniżej wykresu funkcji $g$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ .

c) Wyznaczając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ obserwujemy, dla jakich argumentów wykres funkcji $f$ jest położony powyżej wykresu funkcji $g$ i dołączamy te argumenty, dla których wartości funkcji $f$ i $g$ są równe, wystarczy podać dopełnienie zbioru rozwiązań z podpunktu b), stąd $x \in ⟨- 1, 0⟩ \cup ⟨1, \infty)$ .

Materiały multimedialne1

Zapoznaj się z dynamicznym wykresem funkcji (aplet własności funkcji). Zmieniając wielkość parametru $n$ na suwaku, możesz zmieniać elementy wykresu funkcji oraz zaznaczając odpowiednie pola dotyczące własności funkcji sprawdzać, czy poprawnie odczytujesz z wykresu własności wybranej funkcji.

R7RGGTE9HK4RO

Polecenie 1

Na podstawie wykresu w aplecie dla $n = 3$ przeanalizuj przebieg wykresu funkcji i odczytaj z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności funkcji. Za dziedzinę funkcji przyjmij przedział $⟨- 8; 2⟩$ .

R1JUQ3U25ZJHC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 9 do 4 i pionową osią y od minus 4 do siedem. W układzie zaznaczono wykres będący krzywą, która rozpoczyna w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu dalej biegnie on ukośnie do punktu nawias minus pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu, następnie dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie dalej ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Na osi x zaznaczono rzut tego wykresu, jest to obszar od minus osiem do dwa. Na oś y również zrzutowano wykres, jest to obszar od minus trzy do sześć.

$D_{f} = ⟨- 8, 2⟩$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 3, 6⟩$ ,

miejsca zerowe funkcji: $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\}$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 8, - 5⟩$ , oraz $⟨- 2, 2⟩$ , malejąca w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ .

Polecenie 2

Na podstawie wykresu w aplecie dla $n = 4$ przeanalizuj przebieg wykresu funkcji i odczytaj z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności funkcji. Za dziedzinę funkcji przyjmij przedział $⟨- 8, 5⟩$ .

R12DVHXF4BSVP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 5 i pionową osią y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono wykres będący krzywą, która rozpoczyna w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus osim średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie on ukośnie do punktu nawias minus pięć średnik sześć zamknięcie nawiasu, następnie dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie dalej ukośnie do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. Na osi x zaznaczono rzut tego wykresu, jest to obszar od minus dziewięć do pięć. Na oś y również zrzutowano wykres, jest to obszar od minus trzy do sześć.

$D_{f} = ⟨- 8, 5⟩$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 3, 6⟩$ ,

miejsca zerowe funkcji: $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 3, 2\} \cup ⟨2, 5⟩$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziałach $⟨- 8, - 5⟩$ , oraz $⟨- 2, 2⟩$ , malejąca w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ , stała w przedziale $⟨2, 5⟩$ .

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podane zadanie. Sprawdź poprawność Twoich rozwiązań z rozwiązaniami przedstawionymi w animacji.

R15LG53SA8EQU

Polecenie 3

Na podstawie wykresu przedstawionego w animacji odczytaj z wykresu rozwiązanie równania: $f (x) = - 3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq - 3$ .

Rozwiązaniem równania $f (x) = - 3$ jest $x = 3$ .

Zbiorem rozwiązań nierówności $f (x) \geq - 3$ jest przedział $⟨- 3, 5)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych1

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Dziedziną funkcji jest zbiór:

R1BZDZL7VT2EF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 11 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono wykres f, który składa się z trzech fragmentów. Pierwsza część pojawia się w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu nawias dziewięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, tam zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias jedenaście średnik pięć zamknięcie nawiasu.

R1JBQG3764JR5

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Zbiorem wartości tej funkcji jest:

RXZ8MGRE7424U

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 11 i pionową osią y od minus 7 do cztery. W układzie zaznaczono wykres f, który składa się z trzech fragmentów. Pierwsza część pojawia się w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, tu zmienia swój bieg i biegnie poziomo do punktu nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias siedem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias siedem średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias dziewięć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, tam zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias dziesięć średnik minus siedem zamknięcie nawiasu.

R13X3KN5SD1TD

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RG9B1K6JMZTE9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 10 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono wykres f, który jest krzywą zaczyna się on w zamalowanym puncie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie on ukośnie przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu do punktu nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, gdzie zmienia swoje nachylenie i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do punktu nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie on ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias dziesięć średnik pięć zamknięcie nawiasu.

RS366G8CBMZQE

Ćwiczenie 4

R1VE6SE79PPDE

RSZQFLTT7NP4G

Ćwiczenie 5

ROA6FA2KAHXN5

RQUOGGDEBKZEU

Ćwiczenie 6

Na podstawie analizy przedstawionego na rysunku wykresu funkcji zaznacz poprawnie opisane własności funkcji:

R7HZHTL1VHPDJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 3 do 8 i pionową osią y od minus 6 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z trzech części. Pierwsza część jest krzywą, która rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawiasu minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus sześć zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugą częścią jest zamalowany punkt o współrzędnych nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Trzecia część rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik cztery skąd biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu.

R1QRVVVZ79O8C

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R1Z2X8MNRC8CK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 5 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do punktu o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do punktu o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

RKAML2D7DLMGU

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RKGSFEQOEGKNT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią od minus 7 do 6 i pionową osią y od minus 5 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą. Rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd biegnie poziomo do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do punktu o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu. Dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd ukośnie biegnie do punktu o współrzędnych nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie poziomo do punktu o współrzędnych nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

dziedzinę funkcji,
zbiór wartości,
miejsca zerowe,
argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
maksymalne przedziały monotoniczności funkcji,
różnowartościowość funkcji,
najmniejszą i największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane.

$D_{f} = ⟨- 7, 5)$ ,

$Z W_{f} = ⟨- 5, 3⟩$ ,

$f (x) = 0$ dla $x \in ⟨- 7, - 3⟩ \cup \{- 1\}$ ,

$f (x) < 0$ dla $x \in (- 3, - 1)$ ,

$f (x) > 0$ dla $x \in (- 1, 5)$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ ,
funkcja jest malejąca w przedziałach $⟨- 3, - 2⟩$ oraz $⟨3, 5)$ ,
funkcja jest stała w przedziałach $⟨- 7, - 3⟩$ oraz $⟨0, 3⟩$ ,

funkcja nie jest różnowartościowa, bo na przykład $f (0) = f (3)$ ,

wartość najmniejsza $y_{\min} = - 5$ dla $x = - 2$ ,
wartość największa funkcji $y_{\max} = 3$ dla $x \in ⟨0, 3⟩$ .

Ćwiczenie 9

Dany jest wykres funkcji

R8DR98BLQQU44

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 8 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik sześć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias trzy średnik minus sześć, dalej biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias osiem średnik cztery zamknięcie nawiasu.

R7G2HUL5JSDPB

RVKXGVXO48CP3

R1H4PGJSV8F56

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RUU344A84EGS3

R18BGQ2Q64LNB

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RU1BLGC5OC9O5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 7 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus trzy, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu.

R1DGQSUPOGHGF

Dostępne opcje do wyboru: x, równa się, minus, trzy, nawias ostry, zero przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, trzy przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, minus, osiem, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias, minus, jeden przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, minus, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, trzy przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, x, równa się, minus, jeden, nawias ostry, minus, osiem, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias, minus, trzy, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias ostry, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, nawias ostry, minus, osiem przecinek siedem, zamknięcie nawiasu. Polecenie: Przeciągnij odpowiednie elementy, aby powstał poprawny opis własności funkcji. - dziedzina funkcji D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia ,
- zbiór wartości f nawias, D, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia ,
- miejsca zerowe funkcji luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia ,
- funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x, należy do luka do uzupełnienia ,
- funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x, należy do luka do uzupełnienia suma zbiorów luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest rosnąca w przedziale luka do uzupełnienia oraz luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest malejąca w przedziałach: luka do uzupełnienia oraz luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest stała w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest nierosnąca w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja jest niemalejąca w przedziale luka do uzupełnienia ,
- funkcja ma wartością najmniejszą y, równa się, minus, trzy dla x, równa się, minus, osiem lub x, równa się, minus, dwa, funkcja ma wartością największą y, równa się, trzy dla x, należy do luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 3 & dla x \in (- \infty, - 1) \\ |x - 2| & dla x \in ⟨- 1, 6) \\ - 2 & dla x \in ⟨6, \infty) \end{cases}$ .

R1SCZ9CLEMRJQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w trzeciej ćwiartce i biegnie poziomo do punktu nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do niezamalowanego punktu nawias sześć średnik cztery. Druga część ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa i biegnie poziomo aż wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

RL94O6N7OAESN

Połącz w odpowiednie pary: zbiór rozwiązań równania f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań nierówności f nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań równania f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu zbiór rozwiązań nierówności f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, jeden to Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias klamrowy, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias ostry, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias ostry, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 13

R1QQ3VMZZ1EDT

R15CGEDVEJ9CM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który składa się z dwóch części. Pierwsza ma swój początek w punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Druga część ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamkniecie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamkniecie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma kształt litery V, jej wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu dalej biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 14

Dany jest wykres funkcji:

R1JKXU7ARR2DH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, minus, trzy, która ma kształt litery V, jej wierzchołek znajduje się w punkcie nawias dw średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono poziomą prostą o równaniu y, równa się, jeden.

ROJGCVAOH1JNV

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : (- 5, 4) \to ℝ$ .

R1NQF8FN3DEVZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 4 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która ma swój początek w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias trzy średnik jeden jeden zamknięcie nawiasu stąd biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu.

RG3Z9LBN9FNEG

Ćwiczenie 16

Do podanego wykresu dobierz własności funkcji.

RL8E56DPSQCBV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo to zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, najpierw biegnie poziomo do punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie poziomo do punktu nawias dziewięć średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

RU1TN4F1E63CR

Ćwiczenie 17

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ , $g (x) = |x|$ .

R6XU33EJXED6K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Pierwszy to wykres funkcji f, która ma ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry, jej wierzchołek znajduje się w środku układu współrzędnych. Drugi wykres g ma kształt litery V, której wierzchołek również znajduje się w środku układu współrzędnych. Wykresy przecinają się w punktach nawias minus cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu i nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

zbiór rozwiązań równania $f (x) = g (x)$ ,

zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ ,

zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

$f (x) = g (x)$ dla $x = - 4$ , $x = 0$ , $x = 4$ ,

$f (x) < g (x)$ dla $x \in (- 4, 0) \cup (0, 4)$ ,

$f (x) \geq g (x)$ dla $x \in (- \infty, - 4⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

Ćwiczenie 18

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = 2 - x$ .

RQUUMEQO2OGZV

Odczytaj z wykresu rozwiązanie równania $x^{2} = 2 - x$ oraz nierówności $x^{2} \geq 2 - x$ .

$x^{2} = 2 - x$ dla $x = - 2$ lub $x = 1$ .

$x^{2} \geq 2 - x$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩ \cup ⟨1, \infty)$ .

Słownik

dziedzina funkcji

dziedziną funkcji $y = f (x)$ nazywamy zbiór wszystkich elementów $x$ , dla których funkcja jest określona

zbiór wartości funkcji

zbiorem wartości funkcji $f : D \to Y$ nazywamy zbiór tych wszystkich $y \in Y$ , dla których istnieje taki argument $x \in D$ , że $f (x) = y$

miejsca zerowe funkcji

argumenty, dla których $f (x) = 0$

funkcja rosnąca

funkcja, której wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja malejąca

funkcja, której wartości maleją wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja stała

funkcja, która dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość

funkcje monotoniczne

funkcje rosnące, malejące, nierosnące, niemalejące lub stałe w całej dziedzinie

naszkicować wykres o zadanych własnościach

narysować wykres, który spełnia wszystkie podane własności

2. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach

Podsumowanie wiadomości o funkcjach