R1LD5JMVrpBA8

System dwójkowy pozycyjnysystem binarnySystem dwójkowy pozycyjny umożliwia komputerom przetwarzanie i przechowywanie informacji. W komputerach informacja jest zapisywana i przechowywana binarnie ze względu na charakter elektroniczny (dwustanowość)dwustanowośćcharakter elektroniczny (dwustanowość). Do zapisu liczb w systemie dwójkowym wykorzystywane są dwie cyfry 0 i 1, co umożliwia szybkie przetwarzanie informacji.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
MultimediumMultimedium
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik
BibliografiaBibliografia

Aby zrozumieć poruszane w tym materiale zagadnienia, przypomnij sobie:

sposoby dodawania i mnożenia liczb metodą pisemną.

Twoje cele

Omówisz sposób zapisu liczb w dwójkowym systemie pozycyjnym.
Wykonasz podstawowe działania arytmetyczne z wykorzystaniem systemu dwójkowego.
Wyjaśnisz zastosowanie standardu ASCIIkod ASCIIASCII do przechowywania informacji o znakach w komputerze.

W pozycyjnym systemie liczbowympozycyjny system liczbowypozycyjnym systemie liczbowym cyfry mają różne znaczenie w zależności od miejsca, jakie zajmują w liczbie. Inne systemy pozycyjne niż dziesiętny, z którego korzystamy na co dzień do różnych obliczeń np. w matematyce i fizyce, możemy spotkać w różnych naukach technicznych, a zwłaszcza w informatyce – są to systemy dwójkowy i szesnastkowy. Istnieją również inne systemy.

Ważne!

Określeń cyfra i liczba nie należy ze sobą mylić. Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Podobnie jak wyraz składa się z wielu liter, tak liczba może składać się z wielu cyfr.

Działanie komputera i jego podzespołów możemy opisać przy pomocy sekwencji liczb.

Porusz myszką – kursor wykonuje ruch na ekranie. Ruch myszką jest odczytywany przez komputer, który przekształca go na cyfrowe wartości i oblicza przemieszczenie kursora na ekranie. Następnie aktualizuje pozycję kursora i wyświetla go na ekranie.

Komputery, a właściwie procesoryprocesorprocesory (bo to one dokonują obliczeń), posługują się stanami logicznymistan logicznystanami logicznymi w celu przetwarzania informacji, które bardzo łatwo interpretować jako cyfry:

0 - stan niski (brak prądu),
1 - stan wysoki (jest prąd).

W pozycyjnym systemie dwójkowymsystem binarnypozycyjnym systemie dwójkowym liczby są zapisywane jako ciągi cyfr 0 i 1. Każda pozycja 0 lub 1 w liczbie odpowiada potędze dwójki, zaczynając od najmniej znaczącej cyfry, której odpowiada potęga 2Indeks górny 0. Na przykład, liczba 1011 w pozycyjnym systemie dwójkowym odpowiada liczbie 11 w pozycyjnym systemie dziesiętnym:

1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Oto kilka przykładów liczb zapisanych w systemie binarnym, kolejne wartości potęgi 2 oraz odpowiadające im liczby w systemie dziesiętnym:

Liczba binarna	$2^2$	$2^1$	$2^0$	liczba dziesiętna
`000`	0	0	0	`0`
`001`	0	0	1	`1`
`010`	0	2	0	`2`
`011`	0	2	1	`3`
`100`	4	0	0	`4`
`101`	4	0	1	`5`
`110`	4	2	0	`6`
`111`	4	2	1	`7`

Ciekawostka

Alfabet Morse'a, którego używa się w radiokomunikacji i w nawigacji morskiej, jest podobny do systemu binarnegosystem binarnysystemu binarnego. Do zapisu każdego znaku wykorzystuje sekwencję kropek i kresek. Jednym z najbardziej znanych jest sygnał alarmowy SOS (ang. save our ship, save our souls).

Rj8CaAegdmNNf

Na ilustracji widocznych jest dwóch mężczyzn w pomieszczeniu przypominającym kabinę radiotelegraficzną. Jeden z nich, ubrany w mundur i czapkę, stoi za siedzącym operatorem, który obsługuje klucz telegraficzny. Na biurku leżą kartki papieru i ołówek, a obok znajduje się lampa o dużym kloszu. W tle widać ścianę z kablami i urządzeniami technicznymi. — Źródło: dostępny w internecie: wikimedia.commons.org, domena publiczna.

Sygnał składa się z trzech kropek, trzech kresek i znów trzech kropek.

R9bPeV8eEzsb7

Grafika przedstawia symboliczny zapis sygnału SOS w kodzie Morse’a: trzy kropki, trzy kreski, trzy kropki, ułożone poziomo. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Podstawowe operacje arytmetyczne

Ważne!

Porównując operacje w systemie dwójkowym i dziesiętnym, możemy dostrzec pewne podobieństwa. W obu systemach jeśli suma jest dwucyfrowa (np. 8 + 3 = 11), to pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 1, a 1 przechodzi do następnej kolumny - dodamy ją do wyniku sumowania cyfr w następnej kolumnie. Jest to tzw. przeniesienie. Wykorzystujemy je, wykonując działania pisemnie (w słupku).

    8
  + 3
  ----
   11

Dodawanie liczb binarnych

O ile w przypadku systemu dziesiętnego sumowanie dwóch liczb, np. 11 i 13, nie sprawi nam kłopotu, o tyle w przypadku systemu binarnego dodanie do siebie 1011 oraz 1101 nie wydaje się już tak oczywiste.

Do wykonania działania możemy wykorzystać reguły, które stosujemy w przypadku dodawania pisemnego. Musimy jednak pamiętać, że podstawą tego systemu jest 2, nie 10. Ponadto wykorzystujemy tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Zasady ich dodawania są następujące:

R1EcXvpQCO66h

Grafika przedstawia cztery przykłady dodawania liczb w systemie binarnym. Każdy przykład zapisany jest w dwóch rzędach: w pierwszym rzędzie znajduje się pierwsza liczba, w drugim – druga liczba z dodawania, a pod kreską – wynik. Od lewej:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (wynik zapisany jest na czerwono)
Obraz ilustruje podstawowe zasady dodawania bitów w systemie dwójkowym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ważne!

Kiedy w systemie dwójkowym dodajemy do siebie dwie liczby 1, uzyskujemy wynik 10. Dzieje się tak, ponieważ jedna z 1 jest dodawana do wartości następnej kolumny po lewej stronie. Podobnie robimy, sumując liczby w systemie dziesiętnym – dodajemy odpowiednią wartość (przenosimy) do wartości cyfry bardziej znaczącej (po lewej stronie), gdy suma dwóch cyfr mniej znaczących przekracza 9.

Dodawanie liczb binarnych zaczynamy od dodawania najmniej znaczących bitów. Używamy opisanych zasad dodawania bitów, a dodatkowo:

jeśli suma wynosi 10, zapisujemy 0 i dodajemy 1 do następnej kolumny po lewej stronie;
jeśli suma wynosi 11, zapisujemy 1 i dodajemy 1 do następnej kolumny po lewej stronie – taka sytuacja może się wydarzyć, kiedy musimy dodać jeszcze przeniesioną cyfrę.

Przeanalizujemy przykład.

Oto dodawanie:

$11_{10} + 13_{10} = 1011_{2} + 1101_{2}$

  1011  (to jest 11 w systemie dziesiętnym)
+ 1101  (to jest 13 w systemie dziesiętnym)
------
 11000  (to jest 24; w systemie dziesiętnym)

Mnożenie liczb binarnych

Mnożnik zapisujemy pod mnożną, a potem mnożąc każdą cyfrę przez każdą, wyniki częściowe zapisujemy podobnie jak w pozycyjnym systemie dziesiętnym. Ostatecznie sumujemy otrzymane liczby.

Przypomnijmy sobie sposób mnożenia dwóch liczb naturalnych większych od 10 - widzimy tu wyniki częściowe (48 i 12), a potem ich sumę, czyli wynik mnożenia:

Zasady mnożenia bitów w liczbach binarnych są następujące:

RnicGdolNVoHC

Grafika przedstawia cztery przykłady mnożenia liczb w systemie binarnym. Każdy przykład zapisany jest w dwóch rzędach, jeden pod drugim, oddzielonych poziomą linią. Od lewej do prawej:
0 razy 0 równa się 0,
0 razy 1 równa się 0,
1 razy 0 równa się 0,
1 razy 1 równa się 1.
Obraz ilustruje podstawowe zasady mnożenia bitów w systemie dwójkowym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ważne!

Wyrównanie liczb: Zaczynamy od napisania dwóch liczb binarnych jedna pod drugą tak, aby ich bity były wyrównane od prawej do lewej. Najmniej znaczące bity znajdują się na prawym końcu, a najbardziej znaczące bity na lewym końcu.

Rozpoczynamy mnożenie bitów: Zaczynając od prawej kolumny dolnej liczby, mnożymy każdy bit przez każdy bit górnej liczby. Zapisujemy wynik pod linią, kolejne iloczyny zaczynamy zapisywać pod bitem, przez który mnożymy.

Dodajemy wyniki: Po pomnożeniu każdego bitu dolnej liczby przez górną liczbę dodajemy wszystkie wyniki w poszczególnych kolumnach. Pamiętajmy o tym, że dodawanie w systemie binarnym może wymagać przeniesienia, jeżeli suma bitów w jednej kolumnie przekroczy 1.

Po dodaniu wszystkich wyników, wynik pod poziomą kreską to iloczyn dwóch liczb binarnych.

Przeanalizujemy przykład.

Oto operacja mnożenia:

$11_{10} * 13_{10} = 1101_{2} * 1101_{2}$

    1011  (to jest 11 w systemie dziesiętnym - mnożna)
x   1101  (to jest 13 w systemie dziesiętnym - mnożnik)
----------
    1011  (to jest wynik mnożenia przez pierwszy bit od prawej - 1)
   0000   (to jest wynik mnożenia przez drugi bit od prawej - 0, przesunięty o jedną pozycję w lewo)
  1011    (to jest wynik mnożenia przez trzeci bit od prawej - 1, przesunięty o dwie pozycje w lewo)
 1011     (to jest wynik mnożenia przez czwarty bit od prawej - 1, przesunięty o trzy pozycje w lewo)
----------
10001111  (to jest 143 w systemie dziesiętnym, co jest wynikiem  operacji 11 * 13)

Odejmowanie liczb binarnych

Odejmowanie zapisujemy analogicznie jak dodawanie metodą pisemną. Zaczynamy od najmniej znaczących cyfr.

Zapoznaj się z ilustracją przedstawiającą zasady odejmowania w dwójkowym systemie pozycyjnym:

RMjSrq5Xxn3KS

Grafika przedstawia cztery przykłady odejmowania liczb w systemie binarnym. Każdy przykład zapisany jest w dwóch rzędach, jeden pod drugim, oddzielonych poziomą linią. Od lewej do prawej:
1 minus 1 równa się 0,
1 minus 0 równa się 1,
0 minus 0 równa się 0,
0 minus 1 równa się 1, z pożyczką zaznaczoną na czerwono w górnym rzędzie.
Obraz ilustruje podstawowe zasady odejmowania bitów w systemie dwójkowym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 1

R160Elh3ISNbu

Bity i bajty – system binarny w komputerach

Zera i jedynki użyte w zapisie binarnym nazywane są bitami informacji i reprezentują stany logicznestan logicznystany logiczne. 8 bitów to 1 bajt. Jeden bajt pozwala na zapis 256 różnych wartości. Bajty i ich wielokrotności są używane do oznaczenia wielkości pamięci w urządzeniach komputerowych. W takich jednostkach podajemy pojemność pamięci operacyjnej RAMpamięć operacyjna RAMpamięci operacyjnej RAM w komputerze oraz wielkość dysków twardych i innych nośników danych.

Nazwa	Liczba wyrażona w wielokrotności jednostki	Liczba bajtów
bajt (B)	8 bitów	`1`
kilobajt (KB)	1024 bajty	`1024`
megabajt (MB)	1024 kilobajty	`1024 * 1024`
gigabajt (GB)	1024 megabajty	`1024 * 1024 * 1024`

ASCII – standard kodowania znaków

Znaki, takie jak litery, cyfry i symbole specjalne są reprezentowane w komputerze przy pomocy liczb. Każdemu znakowi przypisana jest odpowiadająca mu wartość. Ten sposób przypisania znaku do liczby nazywamy kodowaniem. Najczęściej używanym systemem kodowania jest kod ASCIIkod ASCIIkod ASCII (ang. American Standard Code for Information Interchange), który jest standardowym systemem kodowania znaków w komputerach (w ASCII znak wykorzystuje 1 bajt). Kody dziesiętne od 0 do 31 są to tzw. kody sterujące, które niosą pewne informacje dla komputera, a nie widać ich na monitorze ani na wydruku.

R2dR8OEBvt5O51

Grafika przedstawia tabelę kodów ASCII. W tabeli znajdują się kolumny opisane nagłówkami: „KOD DZIESIĘTNY” oraz „ZNAK ASCII”. Każda kolumna zawiera pary: wartość dziesiętną kodu oraz odpowiadający jej znak ASCII lub nazwę znaku sterującego. Wiersze są ułożone rosnąco według kodów dziesiętnych, zaczynając od 0 (NUL) aż do 113 (q). W tabeli znajdują się zarówno znaki sterujące (np. NUL, SOH, LF), jak i znaki drukowalne, takie jak cyfry, litery, znaki specjalne oraz spacja. — Źródło: Wikimedia Commons, domena publiczna.

Kod ASCIIKod ASCIIKod ASCII reprezentuje każdy znak jako pewną liczbę. Na przykład, litera „A” jest kodowana jako 100 0001 (w systemie binarnym), co odpowiada liczbie 65 w systemie dziesiętnym. Każdy znak w kodzie ASCII jest przypisany do unikalnej wartości liczbowej, co umożliwia komputerom przetwarzanie i wymianę informacji tekstowej. Kod ASCII jest nadal używany w wielu systemach, ale istnieją również inne systemy kodowania, takie jak UnicodeUnicodeUnicode, które pozwalają na reprezentację większej liczby znaków i symboli z różnych języków i kultur.

Notatnik

R1OlTbG8cTajX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Prezentacja multimedialna

R1Fh4dlvrKj3b

Cyfry obecne od IX wieku

Codex Vigilanus

Zbiór historycznych dokumentów, m. in. wzmianki i reprezentacje cyfr Arabskich.

RdWi7uOX4rS2N

Jeden z najwcześniejszych przykładów zapisu cyfr arabskich w źródłach Zachodu.
Źródło: dostępny w internecie: en.wikipedia.org [dostęp 23.04.2024], domena publiczna.

Historia dziesiętnego systemu liczbowego

R1EZPGQqWVaYd

Wagi cyfr w liczbie

3856 = 3 × 1000 + 8 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1

RzohyZrkZEp7E

Przechowywanie informacji w komputerze

RxHZVlIKh5t8J

Podstawy systemu binarnego

RaL3d70btHXE0

Obraz przedstawia zapis konwersji liczby binarnej jeden zero jeden jeden indeks dolny dwa, na liczbę dziesiętną.
Dokładny zapis brzmi:
Jeden zero jeden jeden indeks dolny dwa równa się. Jeden razy dwa indeks górny trzy indeks dolny dziesięć, plus zero razy dwa indeks górny dwa, indeks dolny dziesięć, plus jeden razy dwa indeks górny jeden indeks dolny dziesięć, plus jeden razy dwa indeks górny zero indeks dolny dziesięć równa się osiem indeks dolny dziesięć plus zero indeks dolny dziesięć plus dwa indeks dolny dziesięć plus jeden indeks dolny dziesięć równa się jedenaście indeks dolny dziesięć. — Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja: CC BY 3.0.

Rcwp6Lsu0WyYD

Dodawanie dwóch liczb w pozycyjnym systemie dwójkowym

R12MGG4OMO1P1

R10wo5JUH4xKM

Alfabet Morse'a

Przykład wykorzystania dwóch znaków do zapisu informacji

1,1

R1RW0bUSuBPAQ

Na fotografii widoczny jest marynarz stojący przy lampie sygnałowej. — Źródło: domena publiczna.

R15MmpfPDgzBb

Grafika przedstawia tabelę z literami i symbolami alfabetu Morsa. — Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja CC‑BY.

R1aLPdkPSyJyV

Gra w życie

R3EUAqvbzbPtc

Animacja przedstawia zmieniające swoje położenie kropki. Część kropek jest stała, a część się porusza. — Źródło: domena publiczna.

Tor wyścigowy – układ stworzony przez Simpsons contributor

Gra toczy się w kolejnych rundach, zgodnie z następującymi zasadami:

Nadmiar populacji: Jeżeli żywa komórka ma więcej niż trzech żywych sąsiadów, umiera (przechodzi w stan „martwy”) z powodu zbyt dużego zaludnienia.
Samotność: Jeżeli żywa komórka ma mniej niż dwóch żywych sąsiadów, umiera z powodu samotności.
Stabilność: Jeżeli żywa komórka ma dwa lub trzy żywych sąsiadów, przetrwa do następnej generacji.
Reprodukcja: Jeżeli martwa komórka ma dokładnie trzech żywych sąsiadów, staje się żywa.

RFaVbgw55ZZP8

Program w Blockly
Liczba cyfr 1 w liczbie zapisanej w systemie binarnym

RbshrWR0ju5IQ

Bloki przedstawione na grafice tworzą algorytm w środowisku programowania wizualnego, który analizuje liczbę podaną przez użytkownika i sprawdza, czy jest ona liczbą binarną. Jeśli tak, zlicza ilość cyfr „1” w tej liczbie. Oto szczegółowy opis poszczególnych bloków i ich działania:
1. przypisz przerwij wartość fałsz
2. Inicjalizacja zmiennej „przerwij” na fałsz, która będzie sygnalizować, czy należy przerwać wykonywanie pętli w przypadku błędu.
3. przypisz liczba wartość zero.
4. ustawia zmienną „liczba” na zero. Będzie ona przechowywać liczbę wprowadzoną przez użytkownika.
5. przypisz cyfra/ Aktualna wartość zero
6. Inicjuje zmienną „cyfra” na zero. Będzie przechowywać aktualnie analizowaną cyfrę liczby.
7. przypisz ile cyfr jeden. Aktualna wartość zero.
8. Ustawia licznik „ile cyfr jeden”. Będzie zliczać ilość cyfr „1” w analizowanej liczbie.
9. przypisz liczba wartość poproś o liczbę z tą wiadomością: Podaj liczbę w systemie binarnym
10. Program prosi użytkownika o podanie liczby binarnej i przypisuje ją do zmiennej „liczba”.
12. powtarzaj dopóki liczba równa jest w przybliżeniu zero.
13. Pętla wykonuje się tak długo, jak „liczba” jest różna od zera.
14. Wewnątrz pętli:
a. przypisz cyfra, wartość reszta z dzielenia liczba przez 10
b. Oblicza ostatnią cyfrę liczby (modulo dziesięć) i przypisuje ją do zmiennej „cyfra”.
c. jeśli cyfra jest większa od jeden
d. Sprawdza, czy aktualna cyfra jest większa niż jeden (czyli liczba nie jest binarna).
e. przypisz przerwij wartość prawda
f. Ustawia „przerwij” na prawda.
g. przerwij pętlę. Przerywa wykonywanie pętli.
h. w przeciwnym razie, jeśli cyfra równa jest jeden
- Jeśli cyfra jest równa 1:
- zmień ile cyfr jeden o 1
- Zwiększa licznik „ile cyfr jeden” o 1.
i. Przypisz liczba wartość zaokrąglij w dół liczba dzielona przez 10.
Usuwa ostatnią cyfrę z liczby (dzieli przez 10 i zaokrągla w dół).
15. Warunek jeśli przerwij = prawda
Po zakończeniu pętli sprawdza, czy wystąpił błąd.
16. Wykonaj wydrukuj błędna cyfra
Jeśli tak, wyświetla komunikat o błędnej cyfrze.
17. w przeciwnym razie Jeśli nie było błędu:
wydrukuj utwórz tekst z „Ilość cyfr 1: ” ile cyfr jeden
Wyświetla liczbę cyfr „1” w podanej liczbie binarnej. — Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja: CC BY 3.0.

W bloku instrukcji warunkowej sprawdzamy, czy cyfra jest większa od jedynki - wtedy przerywamy program.

R1eYcLLDPq7xK

Na ilustracji znajduje się blokowy fragment programu w języku wizualnym. Program składa się z pętli „powtarzaj dopóki”, wewnątrz której znajduje się instrukcja warunkowa „jeśli”. Warunek sprawdza, czy zmienna „cyfra” jest większa od 1. Jeśli warunek jest spełniony, wykonywana jest instrukcja „przerwij pętlę”, co powoduje zakończenie działania pętli. Całość przedstawiona jest w kolorowych blokach: zielonym (pętla), niebieskim (warunek), różowym (zmienna), szarym (operator porównania) i fioletowym (wartość liczby).

ASCII art – sztuka znaków

R1L1DoFkr6E32

Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja: CC BY 3.0.

RZoeXHtY59lKd

Biblioteka art w Pythonie

R1IYKco24ha52

Zrzut ekranu z programu IDLE Python na systemie Linux. W oknie konsoli widoczny jest kod w języku Python wykorzystujący bibliotekę „art” do generowania tekstów ASCII. Wygenerowane napisy to: „NAUKA”, fraza „Python to programowanie” oraz słowo „STAR”. Teksty wyświetlane są w różnych stylach ASCII art, a kod i wyniki są widoczne na granatowym tle konsoli. — Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja: CC BY 3.0.

Indeks górny Źródło: Adam Jurkiewicz, licencja: CC BY 3.0. Indeks górny koniec

Polecenie 2

RSyAwxPAdtwOL

Polecenie 3

RbycK9aLoT5K2

Polecenie 4

RZL96oAOyj3g1

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RJH9KrBmNwifD1

Ćwiczenie 1

Jeśli kropka to bit o wartości 0, a kreska to bit o wartości 1 to jak będzie wyglądał kod binarny znanego sygnału wezwania pomocy SOS (trzy kropki, trzy kreski, trzy kropki)? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 101010101, 2. 000111000, 3. 111000111