Koło

R1Wn50PBBYaye1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie $S$ i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest mniejsza bądź równa $r$ .

RD4TQOGUHRKh31

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$K (S, r)$ – koło o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$

Pole koła

R1LqlAOxDxxpb1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DRHLS88kb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ważne!

Pole koła o promieniu $r$ jest równe iloczynowi liczby $π$ i kwadratu promienia .

P = π r^{2}

R1QscmUo7egga1

Rysunek koła o promieniu r. Zapis: P = pi razy r do potęgi drugiej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

imj7VMPRQR_d5e219

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu $4 dm$ .
Do wzoru na pole koła wstawiamy $r = 4$ .

P = π \cdot 4^{2} = 16 π

Pole koła jest równe $16 π {dm}^{2}$ .

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi $60 π cm$ . Oblicz, ile ${cm}^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie.

RKxOf04VKvJMZ1

Rysunek o kształcie koła znaku zakazu skrętu w prawo. Obwód koła czerwony, na białym tle przekreślona na czerwono, czarna zgięta pod kątem prostym strzałka, skierowana w prawo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L = 2 πr

60 π = 2 πr / : 2 π

r = 30 cm

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P = π r^{2}

P = π \cdot 3 0^{2}

P = 900 π {cm}^{2}

Przyjmijmy $π \approx 3,14$ , wtedy

P \approx 900 \cdot 3,14 = 2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około $2826 {cm}^{2}$ blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe $4 π$ ${mm}^{2}$ . Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o boku długości $1,2 cm$ ?
Obliczamy najpierw średnicę $d$ koła, w kształcie którego jest konfetti.

4 π = π r^{2}

r^{2} = 4

r = 2

bo $r > 0$

d = 2 r

d = 4 mm

Ponieważ $1,2 cm = 12 mm$ , zatem w kwadracie o boku $12 mm$ zmieści się $9$ kół o średnicy $4 mm$ każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć $9$ konfetti.

Przykład 4

Hipokrates z Chios badał własności figur, zwanych obecnie księżycami Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa to figury w kształcie księżyców, związane z wielokątami i okręgami.
Rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$ . Budujemy okręgi, których średnicami są boki trójkąta $ABC$ .

RkpNyTKr7HkNu1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DRHLS88kb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figury ograniczone łukami okręgu opartego na przeciwprostokątnej oraz półokręgami opartymi na przyprostokątnych to księżyce Hipokratesa.

Ćwiczenie 1

Oznacz $a, b$ przyprostokątne trójkąta $ABC$ , $c$ – przeciwprostokątną. Oblicz pole trójkąta. Oblicz sumę pół księżyców Hipokratesa. Co zauważasz?

Wskazówka
$P_{ABC} = 0,5 ab$
$P_{a} + P_{b} = 0,5 ab + 0,125 π a^{2} + 0,125 π b^{2} - (0,125 π a^{2} + 0,125 π b^{2}) = 0,5 ab$

Przykład 5

Salinon (po grecku solniczka) to figura ograniczona $4$ półkolami swoim kształtem przypominająca solniczkę. Opisywał ją już Archimedes.

R19UZoh3C6c8f1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DRHLS88kb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Rozważ salinon oparty na średnicy $AB$ . Niech $FG$ będzie odcinkiem prostopadłym do tej średnicy i przechodzącym przez jej środek. Punkty $F$ i $G$ niech leżą na półkolach ograniczających salinon.
Wykaż, że pole salinonu jest równe polu koła, którego średnicą jest odcinek $FG$ .
Odpowiedź
Niech

|GF| = 2 R

| CE | = r

Wtedy

| AE | = 2 R - r

| AC | = 2 R - 2 r

Suma pół półkoli opartych na średnicach $AD$ i $EB$ jest równa

π {(R - r)}^{2}

Pole salinonu jest równe

\frac{π {(2 R - r)}^{2}}{2} + \frac{π r^{2}}{2} - π {(R - r)}^{2} =

\frac{π (4 R^{2} - 4 Rr + r^{2})}{2} + \frac{π r^{2}}{2} - π (R^{2} - 2 Rr + r^{2})

= π (2 R^{2} - 2 Rr + \frac{r^{2}}{2} + \frac{r^{2}}{2} - R^{2} + 2 Rr - r^{2}) = π R^{2}

imj7VMPRQR_d5e418

Ćwiczenie 2

Niech $AB$ będzie średnicą koła o środku w punkcie $S$ . Punkt $C$ niech leży na odcinku $AB$ , natomiast punkt $P$ niech leży na okręgu o średnicy $AB$ .

RTkkvTMdqOjZ01

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DRHLS88kb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wykaż, że pole arbelosa jest równe polu koła $K (S, | SB |)$ .

Przykład 6

Na trójkącie prostokątnym opisano koło o polu $2,25 π$ . Oblicz sumę kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta.

RWc7dYw7ftMGo1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b. Na trójkącie opisane jest koło o środku w punkcie S i promieniu r (przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą tego koła). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wiemy już, że środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest zarazem środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez $r$ promień tego koła, natomiast przez $a, b$ – przyprostokątne trójkąta wpisanego w to koło.
Pole koła jest równe $2,25 π$ . Stąd

π r^{2} = 2,25 π / : π

r^{2} = 2,25

r = \sqrt{2,25} = 1,5

bo $r > 0$
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wpisanego w koło jest równa $2 r$ , czyli $3$ .
Rozważany trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zapisując związek między długościami jego boków.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

a^{2} + b^{2} = 3^{2}

a^{2} + b^{2} = 9

Wynika z tego, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta jest równa $9$ .

classicmobile

Ćwiczenie 3

Pole koła o obwodzie $2,6 π$ jest równe

R84AVP7yuAQem

$6.76 π$
$3,38 π$
$1,3 π$
$1,69 π$

static

Ćwiczenie 3

Pole koła o obwodzie $2,6 π$ jest równe

R10bBsTBOVL2S

$6.76 π$
$3,38 π$
$1,3 π$
$1,69 π$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Obwód koła o polu $\frac{49}{81} π$ jest równy

RK8fhI8dsrJov

$1 \frac{5}{9} π$
$\frac{7}{9} π$
$1 \frac{17}{81} π$
$\frac{7}{9} π^{2}$

$r = \frac{7}{9}$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy $11 cm$ , a większego $17 cm$ .

Rqn5Dm9ErxImK1

Rysunek pierścienia kołowego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła jest równe

R1DetbSCz7R1Y

$121 π$
$289$
$168 π$
$410 π$

$P = π \cdot 289 - π \cdot 121 = 168 π$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Średnica pokrywki od garnka jest równa $30 cm$ . Ile blachy użyto na jej wykonanie?

RaSp041cZ9fU2

około $2826 {cm}^{2}$
około $706,5 {cm}^{2}$
około $900 {cm}^{2}$
około $225 {cm}^{2}$

$r = 15 cm$

Ćwiczenie 7

Zapisz, jak zmieni się pole koła, gdy jego średnicę

zwiększymy dwukrotnie
zmniejszymy sześciokrotnie
zwiększymy o $40 %$
zmniejszymy o $20 %$

zwiększy się czterokrotnie
zmniejszy się $36$ - krotnie
zwiększy się $1,96$ razy
zmniejszy się $0,64$ razy

imj7VMPRQR_d5e730

classicmobile

Ćwiczenie 8

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe $1$ .

R1M3EnRAXFdMP1

Rysunek koła o średnicy długości 6. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1FR8vUQMwW1W

Pole koła jest większe od $29$ .
Obwód koła jest mniejszy od $18$ .
Pole kola jest mniejsze od $28$ .
Obwód kola jest większy od $20$ .

static

Ćwiczenie 8

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe $1$ .

R1M3EnRAXFdMP1

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R16Z3yHTpDcM1

Pole koła jest większe od $29$ .
Obwód koła jest mniejszy od $18$ .
Pole kola jest mniejsze od $28$ .
Obwód kola jest większy od $20$ .

classicmobile

Ćwiczenie 9

W kwadrat o boku długości $10 cm$ wpisano koło $K$ . Na tym kwadracie opisano też koło $K_{1}$ . Stosunek pola koła $K_{1}$ do pola koła $K$ jest równy

R10EqzShlSDGR

$4 : 1$
$2 : 1$
$π : 2$
$16 : 1$

Wskazówka: PIndeks dolny K= $25 π$ , $P_{K_{1}} = 50 π$ , $\begin{array}{l} P_{K_{1}} : P_{K} = 1 : 2 \end{array}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Pole powierzchni okrągłego klombu jest równe $1 a$ . Przybliżona długość promienia koła, w kształcie którego jest klomb, jest równa

R1IzKnOGAtqRL

$6 m$
$3 m$
$32 m$
$10 m$

static

Ćwiczenie 10

Pole powierzchni okrągłego klombu jest równe $1 a$ . Przybliżona długość promienia koła, w kształcie którego jest klomb, jest równa

R1UGjTt8uVc9X

$6 m$
$3 m$
$32 m$
$10 m$

Ćwiczenie 11

Punkt $B$ jest środkiem koła. Punkt $A$ nie należy do tego kola. Prosta przechodząca przez punkt $A$ jest styczna do koła w punkcie $C$ . Wiadomo, że $| AB | = 10 cm$ i $| AC | = 8 cm$ . Oblicz pole koła.

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, promień koła jest równy $6 cm$ . Pole kola wynosi $36 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 12

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa $10 cm$ . Gdyby koła te były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków wynosiłaby $8 cm$ . Oblicz pola tych kół.

Suma promieni rIndeks dolny 1 oraz rIndeks dolny 2 tych kół wynosi $10 cm$ , a ich różnica $r_{1} - r_{2} = 8 cm$ . Stąd $r_{1} = 9 cm$ , $r_{2} = 1 cm$ . Pola kół są odpowiednio równe 81 $π {cm}^{2}$ oraz $π$ ${cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 13

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa $10 cm$ . Promienie kół pozostają w stosunku $4 : 1$ . Oblicz pola tych kół.

Suma promieni $r_{1}$ i $r_{2}$ tych kół wynosi $10 cm$ oraz $r_{1} = 4 r_{2}$ , więc

r_{1} = 8 cm

r_{2} = 2 cm

Pola kół są odpowiednio równe : $64 π {cm}^{2}$ oraz $4 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 14

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest równe polu koła o średnicy $18$ .

Obwód kwadratu wynosi $36 \sqrt{π}$ .

Ćwiczenie 15

Oblicz stosunek obwodu koła o polu $16 π$ do obwodu koła o polu $169 π$ .

$\frac{4}{13}$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Promień koła o polu $30 {cm}^{2}$ jest równy $r$ . Promień koła o obwodzie $30 cm$ jest równy $R$ .
Wskaż nierówność prawdziwą.

R13YhcbR9EeyL

$R > r$
$R < r$
$\frac{r}{R} > 2$

static

Ćwiczenie 16

Promień koła o polu $30 {cm}^{2}$ jest równy $r$ . Promień koła o obwodzie $30 cm$ jest równy $R$ .
Wskaż nierówność prawdziwą.

R1L4gS2ijgyhn

$R > r$
$R < r$
$\frac{r}{R} > 2$

Ćwiczenie 17

Koło i kwadrat mają równe pola. Oblicz stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.

$\frac{\sqrt{π}}{2}$

imj7VMPRQR_d5e1040

Ćwiczenie 18

Punkt $P (- 1,3)$ leży na okręgu o środku $S = (0,5)$ . Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Promień koła ma długość $\sqrt{5}$ , pole koła wynosi $5 π$ .

classicmobile

Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REw43y9Hvyv1Q

Jeśli dwa koła mają równe pola, to są przystające.
Jeśli dwa koła są współśrodkowe, to mają równe pola.
Pole koła wyraża się zawsze liczbą niewymierną.
Liczba wyrażająca pole koła może być równa liczbie wyrażającej obwód tego koła.

static

Ćwiczenie 20

Dokończ zdanie.

Pole koła jest równe $16 π$ . Średnica tego koła wynosi …
Obwód koła jest równy $π$ . Pole tego koła jest równe …

8
$\frac{1}{4} π$

Ćwiczenie 21

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Średnica koła	Pole koła	Obwód koła
$8$
	$π$
		$24 π$

Tabela. Dane
Średnica koła	Pole koła	Obwód koła
$8$	$16 π$	$8 π$
$2$	$π$	$2 π$
$24$	$144 π$	$24 π$

classicmobile

Ćwiczenie 22

Koło oraz romb o przekątnych długości $8 cm$ i $6 cm$ mają takie same obwody. Pole koła wynosi

RH28ELO3nOrQA

$\frac{π}{20} {cm}^{2}$
$\frac{100}{π} {cm}^{2}$
$\frac{10}{π} {cm}^{2}$
$10 π {cm}^{2}$

static

Ćwiczenie 22

Koło oraz romb o przekątnych długości $8 cm$ i $6 cm$ mają takie same obwody. Pole koła wynosi

RPO3PojzQKI9r

$\frac{π}{20} {cm}^{2}$
$\frac{100}{π} {cm}^{2}$
$\frac{10}{π} {cm}^{2}$
$10 π {cm}^{2}$

Ćwiczenie 23

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Długość boku trójkąta równobocznego	Promień koła opisanego na tym trójkącie	Pole koła opisanego na tym trójkącie
	$6 \sqrt{3}$
$12$
		$3 π$
$π$

Tabela. Dane
Długość boku trójkąta równobocznego	Promień koła opisanego na tym trójkącie	Pole koła opisanego na tym trójkącie
$18$	$6 \sqrt{3}$	$108 π$
$12$	$4 \sqrt{3}$	$48 π$
$3$	$\sqrt{3}$	$3 π$
$π$	$\frac{π \sqrt{3}}{3}$	$\frac{1}{3} π^{2}$

Ćwiczenie 24

Witraż ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości $24 cm$ . Pomarańczowa część witraża jest w kształcie koła wpisanego w ten trójkąt. Pozostała część witraża jest niebieska.

RuDQqm0CibvGM1

Rysunek trójkąta równobocznego, w który wpisane jest koło. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole niebieskiej figury.

Pole trójkąta równobocznego: $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 4^{2} = 144 \sqrt{3}$
Pole koła: $π \cdot {(\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 24)}^{2} = 48 π$
Pole niebieskiej figury: $144 \sqrt{3} - 48 π = 48 (3 \sqrt{3} - π)$

classicmobile

Ćwiczenie 25

W okrąg wpisano kwadrat i na ty samym okręgu opisano kwadrat. Stosunek pola kwadratu opisanego na okręgu do pola kwadratu wpisanego w ten okrąg

RrF0G73jPoVPj

wyraża się liczbą niewymierną
jest większy do $4$
jest mniejszy od $4$
jest równy $4$

static

Ćwiczenie 25

W okrąg wpisano kwadrat i na ty samym okręgu opisano kwadrat. Stosunek pola kwadratu opisanego na okręgu do pola kwadratu wpisanego w ten okrąg

R8tf2hksGVpHd

wyraża się liczbą niewymierną
jest większy do $4$
jest mniejszy od $4$
jest równy $4$

classicmobile

Ćwiczenie 26

Pole koła o środku w punkcie $O$ jest równe $1,69 π$ . W odległości $0,5$ od punktu $O$ poprowadzono cięciwę.
Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

Rwuyog9cxgj45

Długość cięciwy jest równa $1,2 π$ .
Obwód koła jest w przybliżeniu równy $8,16$ .
Pole kwadratu, którego jednym z boków jest cięciwa, jest większe od $5,5$ .

static

Ćwiczenie 26

Pole koła o środku w punkcie $O$ jest równe $1,69 π$ . W odległości $0,5$ od punktu $O$ poprowadzono cięciwę.
Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

R14GRKWGLm3LZ

Długość cięciwy jest równa $1,2 π$ .
Obwód koła jest w przybliżeniu równy $8,16$ .
Pole kwadratu, którego jednym z boków jest cięciwa, jest większe od $5,5$ .

Ćwiczenie 27

Na trójkącie równobocznym o boku długości $\sqrt{3}$ opisano okrąg i w ten trójkąt wpisano okrąg .
Wykaż, że pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi jest równe $\frac{3}{4} π$ .

wskazówka $r = 0,5$ i $R = 1$

Ćwiczenie 28

Pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest równe $\frac{72}{π}$ .
Oblicz obwód tego trójkąta.

$r = \frac{6 \sqrt{2}}{π}$ , $c = \frac{12 \sqrt{2}}{π}$ , $a = b = \frac{12}{π}$ , $L = \frac{24 + 12 \sqrt{2}}{π}$

Długość okręgu

Wycinek koła. Odcinek koła

Pole koła

Koło

Pole koła

Obliczanie pola koła