3. Pole trójkąta

R4MPJUMZitjX2

RDPDD0NdREHqb1

Rysunek przedstawia portret: głowę mężczyzny z brodą i wąsami. — Heron z Aleksandrii
Źródło: domena publiczna. autor nieznany; wikimedia.org.

W tablicach matematycznych znajduje się zazwyczaj siedem różnych wzorów na obliczenie pola trójkąta. Jeden z nich nazywa się wzorem Herona, od imienia greckiego matematyka, fizyka i wynalazcy urządzeń.

W tym materiale zawarte są informacje na temat obliczania pól i obwodów trójkątów. Zamieszczone tu przykłady pokazują w jaki sposób wyznaczamy pola i obwody różnych trójkątów.

Zapamiętaj!

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego podstawy oraz wysokości prostopadłej do tej podstawy.

R1voBEO7kXZDi1

Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a. Zapis: P = ułamek, licznik a razy h, mianownik dwa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstawą trójkąta nazywamy ten bok trójkąta, do którego poprowadzona jest wysokość.

Przykład 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje dwa sposoby wyznaczenia wzoru na pole trójkąta.

R13naivt2OXEQ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Obliczmy pole trójkąta, który jest fragmentem fasady budynku.

Rvk0viYhz3T2j1

Rysunek fasady budynku z zaznaczonym trójkątem równoramiennym A B C na elewacji przedniej. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|A B| = 5 m

|C D| = 1, 8 m

Pole trójkąta $A B C$ wynosi $P = \frac{5 m \cdot 1, 8 m}{2} = 4, 5 m^{2}$ .

Przykład 3

Widok z przodu karmnika ma kształt trójkąta. Jakie jest pole tego trójkąta?

R1S5go4FyvCLz1

Rysunek przodu karmnika o kształcie trójkąta równoramiennego A B C. Wysokość CD opuszczona jest na bok AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|A D| = 4 dm

|C D| = 5, 5 dm

Pole trójkąta $A B C$ wynosi $P = \frac{8 dm \cdot 5, 5 dm}{2} = 22 {dm}^{2}$ .

Ważne!

Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ jest równe połowie pola prostokąta o wymiarach $a$ i $b$ .

RJir3hYw1uxSm1

Rysunek prostokąta o bokach a i b. Poprowadzona przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta

Reguła: Pole trójkąta

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.

R1AcVgsJ5lvO01

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. Zapis: P = ułamek ,licznik a razy b mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

RPsbluvhqurcr

R1aX4F3ZzGG4G

Ćwiczenie 1

$24 c m^{2}$
$30 c m^{2}$
$40 c m^{2}$
$48 c m^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Rj0GKSXsh0S2H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfbwLIxmm1Eo0

Na podstawie podanych wymiarów trójkątów oblicz ich pola. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt o podstawie długości

6 cm

i wysokości równej

5 cm

ma pole równe 1.

30

, 2.

5, 88

, 3.

15

, 4.

5, 8

, 5.

1, 5

{cm}^{2}

.Trójkąt o podstawie długości

2, 8 cm

i wysokości równej

4, 2 cm

ma pole równe 1.

30

, 2.

5, 88

, 3.

15

, 4.

5, 8

, 5.

1, 5

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj polecenia.

RpMv8nI3JMH6n1

R1WdUxwEb30pT

Długość jednej kratki wynosi

1 cm

. Na podstawie podanych wymiarów wyznacz długości ich podstaw albo wysokości. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trójkąt o podstawie długości

4

kratek i polu równym

12 {cm}^{2}

ma wysokość równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o podstawie długości

7

kratek i polu równym

21 {cm}^{2}

ma wysokość równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o wysokości długości

11

kratek i polu równym

44 {cm}^{2}

ma podstawę równą Tu uzupełnij kratek.Trójkąt o wysokości długości

18

kratek i polu równym

108 {cm}^{2}

ma podstawę równą Tu uzupełnij kratek.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Ri7qTABB0ksNb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RivoVXRH6d1CR

Długość jednej kratki wynosi

1 cm

. Na podstawie podanych wymiarów trójkątów oblicz ich pola. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trójkąt o podstawie długości

4

kratek i wysokości równej

5

kratek ma pole równe Tu uzupełnij

{cm}^{2}

.Trójkąt o podstawie długości

6

kratek i wysokości równej

4

kratki ma pole równe Tu uzupełnij

{cm}^{2}

.Trójkąt o podstawie długości

7

kratek i wysokości równej

3

kratki ma pole równe Tu uzupełnij

{cm}^{2}

.Trójkąt o podstawie długości

3

kratek i wysokości równej

e

kratki ma pole równe Tu uzupełnij

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Wysokość $h_{1}$ ma długość $60 cm$ , a długości boków $a$ , $b$ i $c$ wynoszą odpowiednio $80 cm$ , $100 cm$ i $120 cm$ .

R5QqrQykvzEUi1

Rysunek trójkąta o bokach długości a, b i c. Poprowadzone wysokości trójkąta h indeks dolny 1, h indeks dolny 2, h indeks dolny 3 odpowiednio do boków c, b i a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHOWImcZEnyvo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1eL0UcJXChED

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQuzbXdmWafQG

Połącz w pary opis danego trójkąta z jego obwodem. Trójkąt o bokach długości

5, 4 cm

5, 84 cm

8, 56 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

20, 2 cm

, 2.

19, 8 cm

, 3.

21 cm

Trójkąt o bokach długości

5, 35 cm

7, 45 cm

8, 2 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

20, 2 cm

, 2.

19, 8 cm

, 3.

21 cm

Trójkąt o bokach długości

6, 4 cm

6, 7 cm

7, 1 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

20, 2 cm

, 2.

19, 8 cm

, 3.

21 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RbK9PNi27A0FU

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Jaką długość mają boki trójkąta równobocznego o obwodzie

51 cm

? Odpowiedź: Długośći boków tego trójkąta to Tu uzupełnij

cm

, Tu uzupełnij

cm

i Tu uzupełnij

cm

. Jaką długość mają boki trójkąta równoramiennego o obwodzie

22 cm

, w którym podstawa ma

10 cm

długości? Odpowiedź: Długośći boków tego trójkąta to Tu uzupełnij

cm

, Tu uzupełnij

cm

i Tu uzupełnij

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Długości boków trójkątów widocznych na rysunku są następujące
$|A B| = 8 cm$ ,
$|B E| = 10 cm$ ,
$|A C| = 9, 67 cm$ ,
$|C E| = 2 cm$ ,
$|A E| = 11 cm$ .

RdDQGXOEY6NhD1

Rysunek trójkątów A B E i A B C o wspólnym boku AB. Punkt C leży na boku BE trójkąta A B E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1azqQ7s50r8U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Wykorzystaj dane z rysunku i oblicz obwód trójkąta $E B D$ .

RF0Jok72N0uRM1

Rysunek połączonych trójkątów prostokątnych A B C i E B D o przyprostokątnych równych 3 cm i 4 cm. Przeciwprostokątna trójkąta ABC jest równa 5 cm. Bok BD leży na boku BA. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AXXQHO08DEu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Obwód trójkąta $A B C$ wynosi $187 cm$ , a trójkąta $A D C$ wynosi $163 cm$ . Odcinek $A C$ ma $60 cm$ długości. Oblicz obwód czworokąta $A B C D$ .

RuxlWT59QaCwM1

Rysunek czworokąta A B C D zbudowanego z dwóch trójkątów A B C i A C D o wspólnym boku AC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19ektu2jEoSg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dodaj do siebie obwody tych trójkątów, a następnie dwa razy odejmij od otrzymanego wyniku długość odcinka $A C$ .

Ćwiczenie 11

RhFpoMQLDw5Xm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RW2RswMuTlRb5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RquCTl5QfzKm8

Z trójkąta

A B C

o obwodzie równym

36 dm

wycięto pewną liczbę trójkątów równobocznych o boku

3 dm

. Każdy trójkąt wycięto w taki sposób, że jeden z boków tego trójkąta leży na jednym z boków trójkąta

A B C

i wycięte trójkąty nie nakładają się na siebie. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli z trójkąta

A B C

usunięto jeden taki trójkąt równoboczny, to obwód powstałej figury wyniesie 1.

48 dm

, 2.

45 dm

, 3.

51 dm

, 4.

42 dm

, 5.

36 dm

, 6.

39 dm

.Jeżeli z trójkąta

A B C

usunięto dwa takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1.

48 dm

, 2.

45 dm

, 3.

51 dm

, 4.

42 dm

, 5.

36 dm

, 6.

39 dm

.Jeżeli z trójkąta

A B C

usunięto trzy takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1.

48 dm

, 2.

45 dm

, 3.

51 dm

, 4.

42 dm

, 5.

36 dm

, 6.

39 dm

.Jeżeli z trójkąta

A B C

usunięto cztery takie trójkąty równoboczne, to obwód powstałej figury wyniesie 1.

48 dm

, 2.

45 dm

, 3.

51 dm

, 4.

42 dm

, 5.

36 dm

, 6.

39 dm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Z dwóch trójkątów równobocznych o obwodzie $24 cm$ każdy, odcięto po trzy trójkąty równoboczne o boku $2 cm$ . Powstała figura $I$ oraz figura $II$ widoczne na poniższym rysunku.

R1ay5CzcSqNgw

Pierwsza figura to duży trójkąt równoboczny, z którego narożników wycięto małe trójkąty równoboczne. Powstała w ten sposób figura ma 6 wierzchołków. Druga figura to duży trójkąt równoboczny, z którego wycięto trzy małe trójkąty równoboczne w taki sposób, że powstała figura to dwunastokąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NzAuQQvstIr

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Większy obwód ma figura 1.

12

, 2.

6

, 3.

6

, 4.

I

, 5.

6

, 6.

12

, 7.

II

, 8.

12

.Obwód figury

I

jest mniejszy od obwodu wyjściowego trójkąta równobocznego o 1.

12

, 2.

6

, 3.

6

, 4.

I

, 5.

6

, 6.

12

, 7.

II

, 8.

12

cm

.Obwód figury

II

jest większy od obwodu wyjściowego trójkąta równobocznego o 1.

12

, 2.

6

, 3.

6

, 4.

I

, 5.

6

, 6.

12

, 7.

II

, 8.

12

cm

.Różnica między obwodami figur

I

oraz

II

wynosi 1.

12

, 2.

6

, 3.

6

, 4.

I

, 5.

6

, 6.

12

, 7.

II

, 8.

12

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Przyjrzyj się trójkątom na rysunku.

R1emP0oLgW8BA

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i trójkąta równoramiennego E D F. W trójkącie A B C przyprostokątne mają długość 4 cm, przeciwprostokątna ma długość 5,66 cm, a pole jest równe 8 centymetrów kwadratowych. W trójkącie E D F podstawa ma długość 4 cm, ramiona mają długość 4,83 cm, a pole jest równe 8.8 centymetrów kwadratowych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyKQnNcGTboPE

Wykonaj potrzebne obliczenia i uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jaką wspólną własność mają oba trójkąty?
Odpowiedź: Trójkąty te mają jednakowe 1. obwody, 2.

3, 1

, 3. pola, 4. boki, 5.

2, 8

, 6. wysokości, 7.

4, 4

, 8.

5, 5

.
Jaka jest długość wysokości trójkąta

D E F

opuszczonej na bok

D F

?
Odpowiedź: Wysokość trójkąta

D E F

wynosi 1. obwody, 2.

3, 1

, 3. pola, 4. boki, 5.

2, 8

, 6. wysokości, 7.

4, 4

, 8.

5, 5

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RUbpCyLPAUv

Ćwiczenie 15

Wszystkie trójkąty o jednakowym obwodzie mają równe pola.
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $3 cm$ i $4 cm$ ma obwód równy $12 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $13 cm$ i ramieniu $15 cm$ ma obwód równy $28 cm$ .
Trójkąt równoramienny o podstawie $6 cm$ i ramieniu $5 cm$ ma pole równe $12 {cm}^{2}$ .
Nie ma trójkąta równoramiennego o podstawie $7 cm$ i ramieniu $4 cm$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R17OUTQQ9AnAx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Długości boków trójkąta oznaczono literami $a$ , $b$ i $c$ . Litery $h_{1}$ , $h_{2}$ i $h_{3}$ oznaczają długości wysokości tego trójkąta poprowadzone odpowiednio do boków $a$ , $b$ i $c$ .

R1eOeW9RSv4Lz1

Rysunek trójkąta o bokach a, b, c oraz wysokościach: h z indeksem dolnym jeden, h z indeksem dolnym dwa, h z indeksem dolnym trzy poprowadzone odpowiednio do boków a, b i c trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCFxg7r6ixQ3F

$P = \frac{a ∙ h_{1}}{2}$
$P = \frac{b ∙ h_{1}}{2}$
$P = \frac{b ∙ h_{2}}{2}$
$P = \frac{c ∙ h_{3}}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, na którym przedstawione są cztery trójkąty.

R1QhC9AXtLDfm1

Rysunki czterech różnych trójkątów. Trójkąt A ma podstawę długości czterech kratek i wysokość długości trzech kratek, trójkąt B ma podstawę długości dwóch kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt C ma podstawę długości trzech kratek i wysokość długości pięciu kratek, trójkąt D ma podstawę długości sześciu kratek i wysokość długości dwóch kratek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTkRCKmZZfh96

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RA3eRs92ki58k

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RC6EmCWspHzdY

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdqoRKoY9MNu4

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ResDZk1ZyeBR3

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Na bokach trójkąta prostokątnego $A B C$ zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne, tak jak na poniższym rysunku.

RefWRzFHn4AGi1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C. Bok AB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A B F, bok AC jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego A C E, bok CB jest ramieniem trójkąta równoramiennego prostokątnego B C D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RZofBl85cZO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych $a$ obliczymy ze wzoru: $P = \frac{a \cdot a}{2}$ .

Jeżeli $P = 8$ , to $8 = \frac{a \cdot a}{2}$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Pole prostokąta i kwadratu

4. Pole równoległoboku i rombu

3. Pole trójkąta

Notatnik