Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu . Niech będzie to okrąg o równaniu . Jego środkiem jest punkt . Niech punkt ma współrzędne . Przez punkt poprowadźmy prostą prostopadłą do osi . Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt oraz przez punkt poprowadzimy prostą, to przetnie ona prostą w punkcie . Niech oznacza miarę kąta ostrego mierzoną w radianachradianradianach.
Punkt ma współrzędne . Prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do osi przecina tę w punkcie .
Zauważamy, że druga współrzędna punktu to . Zatem odcinki i mają tę samą długość równą . Ponieważ punkt ma współrzędne , a zatem punkt leży na wykresie funkcji . Poruszający się punkt wyznacza wykres funkcji w przedziale .
Otwórzmy aplet, aby obserwować całą konstrukcję.
R3TnEwaDwEv2r
Wykres funkcji w przedziale
W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wykres funkcji w przedziale .
Teraz skonstruujemy wykres dla . W tym celu wykorzystamy wzór: dla dowolnej liczby rzeczywistej , gdzie .
Wzór opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji jest punkt . Oznacza to także, że funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
R1C2bL5F6LWOV
Wykres funkcji w całej dziedzinie
Zatem otrzymaliśmy wykres w przedziale .
Chcemy teraz skonstruować wykres funkcji dla , gdzie . W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: , dla , gdzie .
Własność ta oznacza, że wykres funkcji tangens powtarza się co . Zatem funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym . Zwróćmy uwagę na to, że okres nie może byc mniejszy niż , gdyż funkcja w przedziale o długości jest rosnąca.
Poniżej przedstawiamy wykres funkcji w dziedzinie.
RpHgNH2bY1Khw
Na podstawie wykresu opiszemy własności funkcji tangens.
o własnościach funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens
Opiszmy własności funkcji , gdy , gdzie .
Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Miejscami zerowymi funkcji tangens są argumenty: , gdzie .
Funkcja tangens jest rosnąca w każdym z przedziałów: , gdzie .
Funkcja tangens nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Wykres funkcji posiada asymptoty pionowe o równaniach: , gdzie .
o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens
Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji .
Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych , gdzie .
Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetriioś symetrii wykresu funkcjiosi symetrii.
Dowód
Ad. 1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku dotyczącego środka symetrii wykresu funkcji:
Punkt jest środkiem symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość .
Zatem musimy pokazać, że zachodzi równość:
dla dowolnej liczby rzeczywistej , gdzie , czyli że
.
Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji tangens: , a następnie z nieparzystości funkcji tangens: , co kończy dowód.
Ad. 2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetrii, gdyż funkcja jest przedziałami rosnąca. Gdyby posiadała oś symetrii, to dla każdego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, istniałby przedział, w którym funkcja jest malejąca.
o okresie zasadniczym funkcji
Twierdzenie: o okresie zasadniczym funkcji
Jeżeli i oraz , to okresem zasadniczym funkcji jest .
Dowód
Najpierw wykażemy, że jest okresem funkcji .
Sprawdzimy teraz, że jest okresem zasadniczym.
Przypuśćmy, że istnieje liczba , która jest okresem funkcji .
Wówczas
,
gdyż . Sprzeczność.
Przykład 1
Podamy okres zasadniczy funkcji:
Rozwiązanie:
Wykorzystamy twierdzenie o okresie zasadniczym funkcji .
Okresem zasadniczym funkcji jest .
Okresem zasadniczym funkcji jest .
Okresem zasadniczym funkcji jest .
Przykład 2
Podamy miejsca zerowe funkcji: .
Rozwiązanie:
Funkcja ma miejsca zerowe postaci , gdzie .
Zatem funkcja ma miejsca zerowe postaci , czyli , gdzie .
Przykład 3
Która wartość jest większa: czy ?
Rozwiązanie:
Ponieważ i , to z faktu, że i tego, że funkcja tangens w przedziale jest rosnąca wynika, że .
Przykład 4
Dla jakich wartości liczb ujemnych funkcja ma okres zasadniczy równy .
Rozwiązanie:
Zapiszmy funkcję w postaci . Skorzystamy z twierdzenia o okresie zasadniczym funkcji tangens. Na podstawie twierdzenia stwierdzamy, że okresem zasadniczm naszej funkcji jest .
Z warunków zadania otrzymujemy: , czyli , a i są dowolnymi liczbami ujemnymi.
Słownik
oś symetrii wykresu funkcji
oś symetrii wykresu funkcji
prosta jest osią symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość
radian
radian
jednostka miary łukowej kąta środkowego wyrażająca stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt jest kątem środkowym; związek pomiędzy miarą stopniową, a łukową wyraża się wzorem
środek symetrii wykresu funkcji
środek symetrii wykresu funkcji
punkt o współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość: