Przeczytaj

Rozpoczniemy od narysowania wykresu funkcji $y = tg x$ .

Wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu $1$ . Niech będzie to okrąg o równaniu ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ . Jego środkiem jest punkt $C = (- 2, 0)$ . Niech punkt $D$ ma współrzędne $(- 1, 0)$ . Przez punkt $D$ poprowadźmy prostą $m$ prostopadłą do osi $X$ . Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt $A$ oraz przez punkt $C$ poprowadzimy prostą, to przetnie ona prostą $m$ w punkcie $E$ . Niech $a$ oznacza miarę kąta ostrego $D C A$ mierzoną w radianachradianradianach.

Punkt $B$ ma współrzędne $(a, tg a)$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do osi $X$ przecina tę w punkcie $F = (a, 0)$ .

Zauważamy, że druga współrzędna punktu $E$ to $tg a$ . Zatem odcinki $D E$ i $B F$ mają tę samą długość równą $tg a$ . Ponieważ punkt $B$ ma współrzędne $(a, tg a)$ , a zatem punkt $B$ leży na wykresie funkcji $y = tg a$ . Poruszający się punkt $B$ wyznacza wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Otwórzmy aplet, aby obserwować całą konstrukcję.

R3TnEwaDwEv2r

Wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wykres funkcji $y = tg a$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Teraz skonstruujemy wykres $y = tg a$ dla $a \in (- \frac{π}{2}, 0⟩$ . W tym celu wykorzystamy wzór: $tg (- a) = - tg a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wzór $tg (- a) = - tg a$ opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji $y = tg a$ jest punkt $(0, 0)$ . Oznacza to także, że funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

R1C2bL5F6LWOV

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -π2;π2 oraz z pionową osią Y w przedziale -1,6;2, przy czy na osi X współrzędne zaznaczone są co dwie dziesiąte. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens, przy czym jego fragment nad osią X jest koloru niebieskiego, a pod osią X pomarańczowego. Asymptoty pionowe zaznaczone są liniami przerywanymi w punktach granicznych przedziału X

Wykres funkcji $y = tg a$ w całej dziedzinie

Zatem otrzymaliśmy wykres $y = tg a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Chcemy teraz skonstruować wykres funkcji $y = tg a$ dla $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: $tg (a + π) = tg a$ , dla $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Własność ta oznacza, że wykres funkcji tangens powtarza się co $π$ . Zatem funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ . Zwróćmy uwagę na to, że okres nie może byc mniejszy niż $π$ , gdyż funkcja w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ o długości $π$ jest rosnąca.

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji $y = tg x$ w dziedzinie.

RpHgNH2bY1Khw

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -3π;4π oraz z pionową osią Y w przedziale -5;5. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens, asymptoty pionowe zaznaczone są liniami przerywanymi

Na podstawie wykresu opiszemy własności funkcji tangens.

o własnościach funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji $y = tg x$ , gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Miejscami zerowymi funkcji tangens są argumenty: $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja tangens jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja tangens nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Wykres funkcji posiada asymptoty pionowe o równaniach: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji $y = tg x$ .

Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetriioś symetrii wykresu funkcjiosi symetrii.

Dowód

Ad. 1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku dotyczącego środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy pokazać, że zachodzi równość:

$2 \cdot 0 - tg x = tg (2 \cdot (\frac{k π}{2}) - x)$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , czyli że

$- tg x = tg (k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji tangens: $tg (k π - x) = tg (- x)$ , a następnie z nieparzystości funkcji tangens: $tg (- x) = - tg (x)$ , co kończy dowód.

Ad. 2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetrii, gdyż funkcja jest przedziałami rosnąca. Gdyby posiadała oś symetrii, to dla każdego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, istniałby przedział, w którym funkcja jest malejąca.

o okresie zasadniczym funkcji

y = c tg (a x + b)

Twierdzenie: o okresie zasadniczym funkcji

y = c tg (a x + b)

Jeżeli $a, b, c \in ℝ$ i $a > 0$ oraz $c \neq 0$ , to okresem zasadniczym funkcji $y = c tg (a x + b)$ jest $\frac{π}{a}$ .

Dowód

Najpierw wykażemy, że $\frac{π}{a}$ jest okresem funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

$c tg (a (x + \frac{π}{a}) + b) = c tg (a x + π + b) = c tg (a x + b)$

Sprawdzimy teraz, że $\frac{π}{a}$ jest okresem zasadniczym.

Przypuśćmy, że istnieje liczba $0 < t < \frac{π}{a}$ , która jest okresem funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

Wówczas

$c tg (a (x + t) + b) = c tg (a x + a t + b) \neq c tg (a x + b)$ ,

gdyż $a t < π$ . Sprzeczność.

Przykład 1

Podamy okres zasadniczy funkcji:

$y = 2 tg x$
$y = 2 tg (\frac{1}{2} x + 3)$
$y = |tg (3 - 2 x)|$

Rozwiązanie:

Wykorzystamy twierdzenie o okresie zasadniczym funkcji $y = c tg (a x + b)$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = 2 tg x$ jest $T = π$ .
Okresem zasadniczym funkcji $y = 2 tg (\frac{1}{2} x + 3)$ jest $T = 2 π$ .
Okresem zasadniczym funkcji $y = |tg (3 - 2 x)|$ jest $T = \frac{π}{2}$ .

Przykład 2

Podamy miejsca zerowe funkcji: $y = 2 tg (3 x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $y = tg x$ ma miejsca zerowe postaci $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zatem funkcja $y = 2 tg (3 x - 2)$ ma miejsca zerowe postaci $3 x - 2 = k π$ , czyli $x = \frac{k π}{3} + \frac{2}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Która wartość jest większa: $tg \frac{11 π}{24}$ czy $tg \frac{13 π}{27}$ ?

Rozwiązanie:

Ponieważ $\frac{11 π}{24} \in (0, \frac{π}{2})$ i $\frac{13 π}{27} \in (0, \frac{π}{2})$ , to z faktu, że $\frac{11 π}{24} < \frac{13 π}{27}$ i tego, że funkcja tangens w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ jest rosnąca wynika, że $tg \frac{11 π}{24} < tg \frac{13 π}{27}$ .

Przykład 4

Dla jakich wartości liczb ujemnych $a, b, c$ funkcja $y = a tg (b x + c)$ ma okres zasadniczy równy $4 π$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy funkcję w postaci $y = - a tg (- b x - c)$ . Skorzystamy z twierdzenia o okresie zasadniczym funkcji tangens. Na podstawie twierdzenia stwierdzamy, że okresem zasadniczm naszej funkcji jest $\frac{π}{- b}$ .

Z warunków zadania otrzymujemy: $\frac{π}{- b} = 4 π$ , czyli $b = - \frac{1}{4}$ , a $a$ i $c$ są dowolnymi liczbami ujemnymi.

Słownik

oś symetrii wykresu funkcji

prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$

radian

jednostka miary łukowej kąta środkowego $\alpha$ wyrażająca stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt $\alpha$ jest kątem środkowym; związek pomiędzy miarą stopniową, a łukową wyraża się wzorem

$\alpha[^{\circ}]=\frac{\alpha\cdot\pi}{180}[\text{radian}]$

środek symetrii wykresu funkcji

punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość: $2 b - f (x) = f (2 a - x)$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik