Przeczytaj
Znamy już podstawowe własności ostrosłupów. Kolejną umiejętnością, którą należy opanować, jest ustalenie strategii rozwiązania problemu w sytuacji, gdy autor nie sugeruje, jakich narzędzi matematycznych należy użyć, by rozwiązać zadanie. Wbrew pozorom, nie jest to łatwe, by wybrać taki sposób rozwiązania zadania, który będzie nie tylko poprawny, ale również najwygodniejszy rachunkowo. Kolejnym ważnym elementem ustalania strategii rozwiązania zadania jest taka analiza tekstu zadania, która pozwoli nam odkryć własności brył, o których autor zadania nie mówi wprost. Należy wówczas szczególnie skupić się na uzasadnieniu, dlaczego bryła spełniająca warunki zadania musi mieć wskazane przez nas własności. Aby przekonać się, jak bardzo pomysł na strategię rozwiązania zadania może zmienić czas jego rozwiązania, przedstawimy poniżej kilka przykładów, których rozwiązanie jest krótkie, ale tylko wtedy, gdy mamy na nie dobry pomysł.
Dany jest ostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowy trójkątny. Trzy jego ściany boczne są wzajemnie prostopadłe. Pole każdej z tych ścian jest równe . Oblicz długości krawędzi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie.
Zauważmy, że informacją wyróżniającą dany ostrosłup z rodziny wszystkich ostrosłupów prawidłowych jest fakt, że jego ściany boczne są do siebie wzajemnie prostopadłe. Z taką sytuacją trzech ścian o wspólnym wierzchołku wzajemnie prostopadłych do siebie mieliśmy do czynienia w narożach sześcianu. Zauważmy dodatkowo, że ostrosłup jest prawidłowy, zatem w podstawie ma trójkąt równoboczny. Oznacza to, że wszystkie trzy ściany boczne ostrosłupa muszą być trójkątami prostokątnymi, równoramiennymi i przystającymi do siebie. Ostatecznie naszą bryłę można przedstawić następująco, umieszczając poziomo jedną ze ścian bocznych, aby lepiej dostrzec własności ostrosłupa:
Wiemy, że pole jednej ściany bocznej jest równe . Przyjmując, że krawędź boczna ostrosłupa jest długości , możemy napisać następującą zależność:
.
Ale ponieważ krawędź ostrosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta ściany bocznej, to jest ona długości .
Podstawą ostrosłupa jest trapez prostokątny . W trapezie tym jedna z podstaw ma długość , a jedna z przekątnych ma długość . Krawędź jest wysokością ostrosłupa i jest równa . Wiadomo ponadto, że długość krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa . Oblicz długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.
Rozwiązanie.
Na wstępie, jak zawsze, chcielibyśmy naszkicować opisaną sytuację. Jest z tym jednak pewien kłopot, bo nie wiemy, ani które krawędzie podstawy ostrosłupa są podstawami trapezu, ani też, przy których wierzchołkach są kąty proste trapezu. Wykonajmy zatem na ten moment szkic ostrosłupa, w którym nie będziemy jeszcze zaznaczać własności jego podstawy.
Skoro krawędź jest wysokością ostrosłupa, to trójkąt jest prostokątny. Pozwala nam to z twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć długość przekątnej trapezu:
.
Wiemy, że jedna z przekątnych trapezu ma długość , więc musi być drugą, dłuższą przekątną. Zauważmy ponadto, że , więc pamiętając, że przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od przyprostokątnej, wyciągnąć możemy wniosek, że podstawa długości jest dłuższą podstawą trapezu. To pozwala nam dokładniej zająć się tym czworokątem. Naszkicujmy go bez deformacji:
Możemy teraz obliczyć jego wysokość, ponownie z twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie :
.
Następnie, z trójkąta obliczamy długość krótszej podstawy trapezu:
.
Zauważmy, że znamy już obie podstawy i wysokość trapezu. Na tej podstawie możemy obliczyć, że ramię ma długość pierwiastek z .
Mamy już potrzebne długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Aby wyznaczyć długości brakujących krawędzi bocznych oraz , wystarczy wykorzystać prostokątne trójkąty ścian bocznych.
Z trójkąta mamy:
.
Analogicznie z trójkąta mamy:
.
Rozważmy te ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości wysokości i krawędzi podstawy jest równa . Spośród tych ostrosłupów wybrano taki, że pole trójkąta, którego bokami są krawędzie boczne i przekątna podstawy ostrosłupa, jest największe. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość ostrosłupa.
Rozwiązanie.
Problem powyżej przedstawiony jest typowym problemem optymalizacyjnym. Zacznijmy oczywiście od rysunku ostrosłupa:
Przypomnijmy, że rozwiązując zadania optymalizacyjne, musimy stworzyć funkcję jednej zmiennej, która opisuje wielkość ekstremalną zgodnie z tekstem zadania ( u nas pole trójkąta ). Jeżeli przyjmiemy, że krawędź podstawy ostrosłupa oznaczymy symbolem , zaś wysokość ostrosłupa symbolem , to:
.
Jednocześnie z tekstu zadania wiemy, że , a zatem funkcję pola wyraża wzór:
.
Dziedziną tej funkcji jest przedział obustronnie otwarty .
Aby wyznaczyć argument, dla którego funkcja przyjmuje swoją maksymalną wartość, zauważmy, że jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola ramionami skierowana w dół. Łatwo zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej:
.
Z tej postaci, korzystając z symetrii paraboli, możemy wskazać pierwszą współrzędną jej wierzchołka
.
Konsekwentnie oznacza to, że pole trójkąta jest maksymalne, gdy oraz . Dla zainteresowanych umieszczamy poniżej aplet, na którym można prześledzić, jak wygląda wykres omawianej przez nas funkcji i ile jest równe pole trójkąta przy przyjętej z góry długości krawędzi ostrosłupa.
Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego krawędź podstawy jest równa a wysokość jest równa . Oblicz odległość spodka wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
Rozwiązanie.
Aby wskazać odcinek, którego długość mamy obliczyć zgodnie z poleceniem zadania, musimy spodek wysokości ostrosłupa połączyć pod kątem prostym z krawędzią boczną ostrosłupa. Naszkicujmy tę sytuację:
Zauważmy, że podstawa ostrosłupa jest sześciokątem foremnymsześciokątem foremnym, zatem długość odcinka jest równa długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Obliczymy teraz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie :
Łatwo zauważyć, że trójkąty oraz są trójkątami podobnymitrójkątami podobnymi. Istotnie oba są trójkątami prostokątnymi o tym samym kącie ostrym . Wykorzystując tę własność trójkątów możemy ułożyć proporcję, dzięki której obliczymy długość odcinka :
Długość odcinka jako odcinka łączącego pod kątem prostym spodek wysokości ostrosłupa z jego krawędzią boczną stanowi szukaną odległość, zatem jest ostateczną odpowiedzią do zadania.
Słownik
ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym
wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne są równej miary
postać, z której można odczytać bezpośrednio miejsca zerowe funkcji kwadratowej oraz . Jeżeli funkcja kwadratowa , gdzie , , ma dwa różne miejsca zerowe oraz , to jej wzór można zapisać w postaci iloczynowej
trójkąty, które mają kąty parami równe i boki parami proporcjonalne.