5. Wielokąty w układzie współrzędnych

W praktyce, chcąc przejść z jednego miejsca do drugiego, rzadko poruszamy się po trasie, jaką wyznaczylibyśmy na planie jako najkrótszą. Na drodze bowiem znajdują się różne przeszkody, np. domy, jeziora, itp. Schemat ulic w miastach często przypomina kratownicę. Najkrótsza odległość w mieście będzie więc nieco inna niż ta teoretyczna, wykorzystywana na lekcjach geometrii.

W tym przypadku do obliczenia odległości posługujemy się tzw. metryką miejską. W tej metryce najkrótsza droga między dwoma punktami to suma wartości bezwzględnych różnic współrzędnych punktu początkowego i końcowego.

Znasz już podstawowe własności figur płaskich. W tym materiale przypomnisz sobie, że umieszczenie takich figur w układzie współrzędnych stwarza możliwość wskazania współrzędnych ich wierzchołków oraz innych punktów charakterystycznych.

Odległość punktów na osi liczbowej

Przykład 1

Odległością punktów $A=\left(a\right)$ i $B=\left(b\right)$, zaznaczonych na osi liczbowej, jest długość odcinka $AB$.
Długość ta jest równa wartości bezwzględnej różnicy współrzędnych punktów $A$ i $B$.

RJuL6XyHZgfWU1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(a), B =(b). Zapis: Wartość bezwzględna AB = wartość bezwzględna (b –a).

Przykład 2

R1WtSnpofLYix1

Rysunki trzech osi liczbowych z zaznaczonymi liczbami całkowitymi od -5 do 5. Odcinek jednostkowy równy jest 1. Na pierwszej osi zaznaczone punkty o współrzędnych A =(-1) i M =(3). Zapis: wartość bezwzględna AM = wartość bezwzględna [3 -( -1)] =4. Na drugiej osi zaznaczone punkty o współrzędnych Z =(0) i W =(4). Zapis: wartość bezwzględna WZ = wartość bezwzględna (0 -4) =4. Na trzeciej osi zaznaczone punkty o współrzędnych R =(-2), S =(2). Zapis: wartość bezwzględna SR = wartość bezwzględna (-2 -2) =4.

Odcinek w układzie współrzędnych

W przypadku, gdy odcinek $AB$ leży w układzie współrzędnych na jednej z osi liczbowych, jego długość jest równa odległości punktów $A$ i $B$.

RpJx3ZLi4r5bU1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi odcinkami AB i CD, którego końce wyznaczają punkty o współrzędnych A =(0, 3), B =(0, -2), R =(-6, 0), W =(-3, 0). Długość odcinka AB =wartość bezwzględna (-2 -3) =5. Długość odcinka RW =wartość bezwzględna [-3 –( -6)] =3.

Przykład 3

Znajdziemy długości odcinków $AB$ i $CD$, gdy $A=\left(-4,2\right)$, $B=\left(2,2\right)$, $C=\left(3,4\right)$, $D=\left(3,-3\right)$.

RvK8AvTHsUO7i1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami: A , B, C, D. Długość odcinka AB =wartość bezwzględna [2 –( -4)]=4. Długość odcinka CD =wartość bezwzględna (-3 –4) =7.

Odcinek $AB$ jest równoległy do osi $X$. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$.

$$\left|AB\right|=\left|2-\left(-4\right)\right|=6$$

Odcinek $CD$ jest równoległy do osi $Y$. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy drugich współrzędnych punktów $C$ i $D$.

$$\left|CD\right|=\left|-3-4\right|=7$$

Wielokąty w układzie współrzędnych

W niektórych wypadkach, aby obliczyć długości boków wielokąta, wygodnie jest umieścić go w układzie współrzędnych. Dla uproszczenia obliczeń staramy się, aby wierzchołki wielokąta miały współrzędne całkowite (jeśli jest to możliwe).

Umieszczenie figur w układzie współrzędnych stwarza możliwość wskazania współrzędnych ich wierzchołków oraz innych punktów charakterystycznych.

Przykład 4

Obliczymy pole prostokąta $ABCD$.

RM5Cpva1K9W311

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy obliczyć pole prostokąta umieszczonego w układzie współrzędnych.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy obliczyć pole prostokąta umieszczonego w układzie współrzędnych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RM5Cpva1K9W31

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy obliczyć pole prostokąta umieszczonego w układzie współrzędnych.

Przykład 5

W układzie współrzędnych dane są punkty: $A=\left(-4,-1\right)$, $B=\left(-2,2\right)$, $C=\left(3,2\right)$. Znajdziemy taki punkt $D$, aby wielokąt $ABCD$ był równoległobokiem.

R1a2Chjcfga6z1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych: A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2).

Oznaczmy: $D=\left(a,b\right)$.
Zauważmy, że $\left|BC\right|=\left|3-\left(-2\right)\right|=5$. W równoległoboku boki przeciwległe są zawsze równoległe, a ich długości są równe. Odcinek $AD$ leży na prostej równoległej do prostej $BC$, a więc i do osi $X$. Zatem $\left|AD\right|=5$.
Korzystając z tego, znajdziemy pierwszą współrzędną punktu $D$.

$$|a-(-4)|=|a+4|=5$$

Z rysunku widać, że liczba $a$ jest dodatnia, zatem większa od $\left(-4\right)$. Ponieważ
$\left|a+4\right|=5$, więc $a+4=5$ lub $a+4=-5$. Stąd
$a=1$ lub $a=-9$.
Ponieważ $a>-4$, więc $a=1$.
Liczba $b$ jest równa drugiej współrzędnej punktu $A$ (bo odcinek $AD$ jest równoległy do osi $X$), więc
$b=-1$.
Odpowiedź: Szukanym punktem jest punkt $D=\left(1,-1\right)$.

RCcLqoMLys2ko1

Rysunek równoległoboku A B C D o współrzędnych wierzchołków A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2), D =(1, -1) leżącego w układzie współrzędnych.

Jeśli na obu osiach układu współrzędnych jest ta sama jednostka, to za jednostkę pola przyjmujemy kwadrat o boku, którego długość jest równa jednostce każdej osi.

Przykład 6

Obliczymy pole trapezu $ABCD$, gdzie $A=\left(-4,1\right)$, $B=\left(4,1\right)$, $C=\left(1,-2\right)$, $D=\left(-1,-2\right)$.

R5VHqMMAXnojT1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) ,  B = ( 4, 1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych.

• sposób $\mathrm{I}$

Zauważmy, że trapez jest równoramienny, więc jego pole jest równe polu prostokąta $BEDF$, długości $5$ i szerokości $3$. Zatem pole tego prostokąta, a więc i pole trapezu, jest równe $15$.

R1QWPJqQ6tW6V1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) ,  B = ( 4, 1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczone punkty E i F, które utworzył prostokąt B E D F.

• sposób $\mathrm{II}$

Obliczamy długości $a$, $b$ podstaw oraz wysokość $h$ trapezu i korzystamy ze wzoru

$$P=\frac{1}{2}\left(a+b\right)·h$$

ROw5ydNbsjWcZ1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4,1 ) ,  B = ( 4,1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt E . Odcinek DE jest wysokością trapezu.

$$a=\left|AB\right|=\left|4-\left(-4\right)\right|=8$$, $$b=\left|CD\right|=\left|1-\left(-1\right)\right|=2$$, $$h=\left|DE\right|=\left|1-\left(-2\right)\right|=3$$

$$P=\frac{1}{2}\left(8+2\right)·3=15$$

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe $15$.

Ćwiczenie 13

Zaznacz w układzie współrzędnych podane punkty: $A=\left(-2, 1\right)$, $B=\left(5, 3\right)$, $C=\left(2, 5\right)$ oraz taki punkt $D$, aby otrzymany czworokąt był

1. równoległobokiem, który nie jest prostokątem?

2. prostokątem, który nie jest kwadratem?

3. kwadratem?

4. rombem, który nie jest kwadratem?

Uzasadnij swój wybór. Czy w każdym przypadku udało Ci się znaleźć rozwiązanie?

R1AT5ZNt3DBav

W układzie współrzędnych zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami pewnego wielokąta: $A=\left(-2,1\right)$, $B=\left(5,3\right)$, $C=\left(2,5\right)$. Jakie współrzędne powinien mieć wierzchołek $D$, aby otrzymany czworokąt był:

1. równoległobokiem, który nie jest prostokątem?

2. prostokątem, który nie jest kwadratem?

3. kwadratem?

4. rombem, który nie jest kwadratem?

Uzasadnij swój wybór. Czy w każdym przypadku udało Ci się znaleźć rozwiązanie?

Pokaż podpowiedź

Narysuj w układzie współrzędnych zaznaczone punkty. Łącz ze sobą w różnej kombinacji punkty $A$, $B$ i $C$. Zastanów się, jakie długości mają odcinki $AB$, $AC$, $BC$ i czy jest możliwość wyznaczenia współrzędnych wierzchołka $D$, tak aby utworzyć wszystkie figury z treści zadania.

Przeanalizuj położenie podanych wierzchołków z treści zadania i zastanów się: jak dobrać wierzchołek $D$, jakie długości mają odcinki $AB$, $AC$, $BC$ i czy jest możliwość wyznaczenia współrzędnych wierzchołka $D$, tak aby utworzyć wszystkie figury z treści zadania.

Pokaż odpowiedź

1.

R1VP77a9Rt1GG

lub

RBRCNUQRBa6o6

2.

RNx0g3bTAP0AN

1. $D=\left(-5,1\right)$

2. $D=\left(1,-3\right)$

3. oraz 4. – nie da się skonstruować, ponieważ podane wierzchołki $A$, $B$, $C$ nie utworzą w żadnej kombinacji pary boków równej długości.

Ćwiczenie 15

W układzie współrzędnych umieszczono równoległobok, tak jak na rysunku.

Rj9fjlLvEDcGR1

Rysunek równoległoboku A B C D o wierzchołkach A =(1, 4), B =(4, 4), C =(3, -3), D =(0, -3) leżącego w układzie współrzędnych.

ROSjFO3uzrhrD

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Punkt o współrzędnych $\left(2, 4\right)$ należy do równoległoboku $ABCD$., 2. Punkt o współrzędnych $\left(0,-3\right)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$., 3. Pierwsze współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ są równe.

• Punkt o współrzędnych $(2, 4)$ należy do równoległoboku $\mathrm{ABCD}$.
• Punkt o współrzędnych $(0,-3)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $\mathrm{ABCD}$.
• Pierwsze współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ są równe.

Rch4EDyyiM6Hs

Ćwiczenie 15

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku: $A=\left(1, 4\right)$, $B=\left(4, 4\right)$, $C=\left(3,-3\right)$, $D=\left(0,-3\right)$. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole równoległoboku wynosi $21$., 2. Wysokość równoległoboku opuszczona na podstawę $DC$ wynosi $7$., 3. Podstawa $DC$ równoległoboku ma długość $4$., 4. Bok $AB$ jest równoległy do boku $BC$.

Ćwiczenie 16

Narysuj w układzie współrzędnych prostokąt, którego przekątne przecinają się w punkcie $P=\left(4,5\right)$ i jeden z jego wierzchołków ma współrzędne $\left(-2,3\right)$, a drugi z jego wierzchołków ma współrzędnie $\left(-2, 7\right)$. Odczytaj współrzędne wierzchołków tego prostokąta.

RIAaH24KWMO0I

W układzie współrzędnych zaznaczono prostokąt $ABCD$, którego przekątne przecinają się w punkcie $P=\left(4,5\right)$ i wierzchołek $A$ ma współrzędne $\left(-2,3\right)$, a wierzchołek $D$ ma współrzędne $\left(-2, 7\right)$. Podaj współrzędne wierzchołków tego prostokąta.

Pokaż podpowiedź

Zaznacz w układzie współrzędnych podane punkty, a następnie wykorzystaj własności prostokąta do znalezienia współrzędnych pozostałych wierzchołków.

Wykorzystaj własności prostokąta, aby wyznaczyć współrzędne wierzchołków.

Pokaż odpowiedź

ReJTao8SeAvxK

Współrzędne wierzchołków $A=\left(-2,3\right)$, $B=\left(10,3\right)$, $C=\left(10,7\right)$ oraz $D=\left(-2,7\right)$.