Przeczytaj

Każdy wielomian jest sumą pewnych jednomianów (lub jednomianem).
Zatem suma dwóch wielomianów również będzie wielomianem.

Suma wielomianów

Definicja: Suma wielomianów

Dane są wielomiany $F (x)$ i $G (x)$ .

Sumą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) + G (a) .$

Różnica wielomianów

Definicja: Różnica wielomianów

Różnicą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) - G (a) .$

Sumę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ możemy zatem obliczyć, dodając współczynniki obu wielomianów stojące przy niewiadomych $x$ o tych samych potęgach, czyli sumując współczynniki wyrazów podobnychwyrazy podobnewyrazów podobnych.

Analogicznie, obliczając różnicę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ , można odjąć odpowiednie współczynniki przy tych samych potęgach niewiadomej.

Jeśli w którymś z wielomianów występuje zmienna w danej potędze, natomiast nie występuje ona w tej potędze w drugim wielomianie, to przyjmujemy, że zmienna jest w tej potędze w obu wielomianach, jednak tam, gdzie pominięto jej zapis, jej współczynnik wynosi zero, np.:

F (x) = 3 x^{3} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2}

możemy równoważnie zapisać:

F (x) = 3 x^{3} + 0 x^{2} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 0 x + 0 .

Przykład 1

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczając poniższe sumy wielomianówsuma wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ sumy wielomianów, otrzymamy:

$V (x) + P (x) = - 5 x^{3} + 10 x - 4$
$P (x) + Q (x) = - 5 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 18$
$Q (x) + V (x) = 5 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$

Przykład 2

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczając różnice wielomianówróżnica wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ różnice wielomianów, otrzymamy:

$V (x) - P (x) = 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 18$
$P (x) - Q (x) = - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 5 x - 4$
$Q (x) - V (x) = - 5 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 22$

Wprowadzimy teraz oznaczenie $\deg (W (x))$ dla stopnia wielomianu (od angielskiego degree, czyli stopień) oraz oznaczenie $\max (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ , gdzie $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to dowolne liczby rzeczywiste.

Zapis ten oznacza, że z podanego zbioru wybieramy liczbę, która jest nie mniejsza od każdej z pozostałych liczb w tym zbiorze. Na przykład $\max (3, 5, 11, 4, 5, 11, 1) = 11$ , ponieważ liczba $11$ jest większa od każdej z pozostałych liczb ze zbioru lub równa którejś z liczb tego zbioru.

Ustalmy, jakiego stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia mogą być wielomiany $W (x) + P (x)$ oraz $W (x) - P (x)$ .

Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

Własność: Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

$deg (W (x) + P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub $W (x) + P (x)$ jest wielomianem zerowym.
$deg (W (x) - P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub $W (x) - P (x)$ jest wielomianem zerowym.

Przykład 3

Suma wielomianu trzeciego stopnia i wielomianu piątego stopnia będzie na pewno wielomianem piątego stopnia.
np.: $W (x) = x^{3}$ , $P (x) = x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{5} + x^{3}$ .

Przykład 4

Suma dwóch wielomianów stopnia piątego może być wielomianem stopnia piątego lub mniejszego, może też być wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = 2 x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 3 x^{5}$ (wielomian piątego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + x^{4}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{4}$ (wielomian czwartego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + 1$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 1$ (wielomian stopnia zerowego).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 0$ (wielomian zerowy).

Przykład 5

Dane są wielomiany $W (x) = 5 x^{3} + a x^{2} + 7 x - b$ oraz $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Wiadomo, że ich suma to wielomian $W (x) + P (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 6$ .
Film pokazuje, jak wyznaczyć wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

RuP8mJ1NotnpZ

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DkMRfRTcH

Film nawiązujący do treści materiału

Słownik

wyrazy podobne

jednomiany tej samej zmiennej występujące w tej samej potędze, np.: $x^{4}$ i $15 x^{4}$

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) - G (a)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0}$ (gdy $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ (najwyższy wykładnik zmiennej); stopień wielomianu, który jest stałą niezerową, wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia

suma wielomianów

F (x)

G (x)

suma wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) + G (a)$

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ ; wielomian ten nie ma określonego stopnia

Wprowadzenie

Animacja

Słownik