Ostrosłupem nazywamy taki wielościanwielościanwielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nie należy do płaszczyzny podstawy.

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o bokach pozostających w stosunku dwa do jednego, a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy. Oblicz sumę długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa, jeżeli wiadomo, że jego wysokość ma długość $18 \mathrm{cm}$ i jest trzykrotnie dłuższa od krótszego boku prostokąta podstawy.

Rozwiązanie:

Zwróćmy uwagę na fakt, że najbardziej istotnym elementem charakteryzującym nasz ostrosłup jest informacja o jego spodku wysokości. Jeżeli pokrywa się z jednym z wierzchołków podstawy, to jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest jednocześnie jego wysokością. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania:

R12OHJHxrj69x

Najlepszym rozwiązaniem jest ustawienie ostrosłupa w taki sposób aby żadne krawędzie, a ni krawędzi podstawy ani krawędzie boczne nie pokrywały się ze sobą. Również każdy z punktów powinien mieć swoje własne miejsce, tak aby możliwe było opisanie każdej krawędzi i każdego kąta wewnątrz wielościanu. Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie prostokąta A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem A.

Zauważmy, że z definicji prostej prostopadłej do płaszczyzny wynika, że ściany ostrosłupa $SAB$ oraz $SAD$ są trójkątami prostokątnymi. Ponadto z treści zadania mamy dane długości $\left|SA\right|=18$, $\left|AD\right|=18:3=6$ oraz $\left|AB\right|=2·\left|AD\right|=12$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla $∆SAB$ oraz $∆SAD$ otrzymujemy:

${\left|BS\right|}^2={18}^2+{12}^2$

${\left|BS\right|}^2=468$

$\left|BS\right|=6\sqrt{13}$

oraz analogicznie

${\left|DS\right|}^2={18}^2+6^2$

${\left|DS\right|}^2=360$

$\left|DS\right|=6\sqrt{10}$

Pozostaje obliczenie długości krawędzi $SC$ ostrosłupa. W tym celu wróćmy do analizy własności bryły. Zauważmy, że rzutem prostokątnym prostej $SB$ na płaszczyznę podstawy jest prosta $AB$ oraz kąt $ABC$ jest prosty. Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłychtwierdzenie o trzech prostych prostopadłychtwierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika zatem, że kąt $SBC$ jest prosty, czyli $∆SBC$ jest prostokątny

Inaczej uzasadnić tę samą własność można, dorysowując prostopadłościan zawierający nasz ostrosłup.

R10Gxima7wqZA

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, w którym wierzchołki dolnej podstawy to A B C D, a wierzchołki górnej podstawy to S $B\text{'}$ $C\text{'}$ $D\text{'}$. W prostopadłościan wpisano ostrosłup czworokątny, którego podstawa pokrywa się z podstawą prostopadłościanu, a wierzchołek znajduje się w wierzchołku S. Pomiędzy ukośną krawędzią boczną graniastosłupa a jego krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Ponieważ w tym prostopadłościanie krawędź $BC$ jest prostopadła do płaszczyzny $ABS$, to jest prostopadła do każdego odcinaka zawartego w tej płaszczyźnie, w szczególności do odcinka $BS$. Ponownie możemy zatem wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w $∆SBC$:

${\left|SC\right|}^2={\left|BS\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|SC\right|}^2=468+36$

$\left|SC\right|=6\sqrt{14}$

Ostatecznie suma długości krawędzi bocznych danego ostrosłupa jest równa

$\left|AS\right|+\left|BS\right|+\left|CS\right|+\left|DS\right|=18+6\sqrt{13}+6\sqrt{14}+6\sqrt{10}=$$=6·\left(3+\sqrt{10}+\sqrt{13}+\sqrt{14}\right)$

Zauważmy, że w rozwiązaniu tego zadania najbardziej istotnym krokiem było zauważenie, że ściana $SBC$ jest trójkątem prostokątnym. Warto zapamiętać, że w takim ostrosłupie również ściana $SDC$ jest trójkątem prostokątnym, czego dowodzimy analogicznie, jak w przypadku trójkąta $SBC$.

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $16$ i kącie ostrym $\alpha =45°$. Spodek wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia się przekątnych podstawy. Wiedząc, że długość wysokości ostrosłupa jest równa długości dłuższej przekątnej podstawy ostrosłupa, oblicz pole jednej ściany bocznej ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Podstawą ostrosłupa jest romb, a więc jego boki są równej długości, przekątne zaś dzielą się na połowy, są do siebie wzajemnie prostopadłe i są dwusiecznymi kątów wewnętrznych rombu.

R5jSIKCdmOhKz

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie rombu A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S a spodek wysokości oznaczono literą O. Przez punkt O przechodzą przekątne rombu. Pomiędzy jedną z przekątnych a wysokością zaznaczono kąt prosty. Kąt ostry pomiędzy krawędziami podstawy podpisano literą alfa.

Zauważmy jednak, że szkic takiej bryły jest identyczny ze szkicem ostrosłupa o podstawie kwadratu. Aby lepiej zapamiętać, że podstawa jest rombem o kącie $45°$, narysujmy obok ten czworokąt bez zniekształceń rzutowych.

R1T7iSgsKIbny

Ilustracja przedstawia romb A B C D , w którym zaznaczono obie przekątne. Kąt ostry pomiędzy bokami ma wartość 45 stopni.

Ważna jest dla nas dłuższa przekątna rombu, bo równa jest wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że długość odcinka $AC$ można obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów dla trójkąta $ACD$, którego kąt rozwarty ma miarę $135°$.

${\left|AC\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|DC\right|}^2-2\left|AD\right|·\left|DC\right|·\cos 135°$

${\left|AC\right|}^2=256+256-2·16·16·\left(-\cos 45°\right)$

${\left|AC\right|}^2=512+512·\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\left|AC\right|=\sqrt{512+256\sqrt{2}}$

Wysokość $SO$ ostrosłupa jest zatem równa $\sqrt{512+256\sqrt{2}}$ i tworzy kąty proste z każdą prostą podstawy przechodząca przez punkt $O$. Aby obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa (potrzebną do wyznaczenia jej pola), wystarczy zatem obliczyć długość promienia okręgu wpisanego do rombu. Możemy to zrobić wyznaczając połowę wysokości rombu.

Rgw6Ria7LmoT7

Ilustracja przedstawia romb A B C D , w którym zaznaczono wysokość DG oraz krótszą przekątną DB. Kąt ostry pomiędzy bokami ma wartość 45 stopni.

Korzystamy z wartości sinusa kąta $45°$ w $∆AGD$, pamiętając, że bok rombu ma długość $16$. Promień okręgu wpisanego w romb jest równy $r=\frac{1}{2}·16\sin 45°=\frac{1}{2}·8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SOG$.

RoNyke1smdOME

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie rombu A B C D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S a spodek wysokości oznaczono literą O. Przez punkt O przechodzą przekątne rombu. Pomiędzy jedną z przekątnych a wysokością zaznaczono kąt prosty. Kąt ostry pomiędzy krawędziami podstawy podpisano literą alfa. W ścianie B C S zaznaczono wysokość SG, gdzie G jest spodkiem tej wysokości. Następnie połączono punkt O z punktem G, dzięki czemu z powstał trójkąt S O G, w którym wysokość ściany bocznej jest przeciwprostokątną a wysokość ostrosłupa i odcinek OG przyprostokątnymi.

${\left|SG\right|}^2={\left|SO\right|}^2+{\left|OG\right|}^2$

${\left|SG\right|}^2=\left(512+256\sqrt{2}\right)+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

${\left|SG\right|}^2=512+256\sqrt{2}+32$

$\left|SG\right|=\sqrt{544+256\sqrt{2}}$

Teraz możemy już obliczyć pole ściany bocznej. $P=\frac{1}{2}·16·\sqrt{544+256\sqrt{2}}=32\sqrt{34+16\sqrt{2}}$

Zauważmy, że tym razem kluczowym elementem rozwiązania zadania było obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa. Niestety częstym błędem jest założenie, że ściana boczna jest trójkątem równoramiennym, a co za tym idzie, że punkt $G$ jest środkiem odcinka $BC$. Wynika to właśnie z niejednoznaczności rysunku rzutowego ostrosłupa o podstawie rombu i „utożsamianiu” go z rysunkiem ostrosłupa o podstawie kwadratu.

wielościanem nazywamy bryłę przestrzenną, której wszystkie ściany są wielokątami

twierdzenie określające związek między kątem wewnętrznym trójkąta i bokami tego trójkąta. W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

Twierdzenie pozwalające ustalić prostopadłość prostych w przestrzeni. Jeżeli prosta $b$ jest rzutem prostokątnym prostej $a$ na daną płaszczyzną, to prosta $c$ leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $b$.