Figury środkowosymetryczne

RKZmYaNdKVVIi1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura środkowosymetryczna

Definicja: Figura środkowosymetryczna

Figurę $G$ nazywamy środkowosymetryczną, jeżeli istnieje taki punkt $S$ , że obraz każdego punktu figury $G$ w symetrii względem punktu $S$ też należy do tej figury. Punkt $S$ nazywamy wtedy środkiem symetrii figury $G$ .

R1egmAEfCeo8n1

Rysunek kwiatka z parzystą liczbą płatków (gerber). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia kilka figur środkowosymetrycznych.

REUgzfWHuRWzc1

Rysunek przekrojonej pomarańczy, opony i opakowania po bombonierce. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figurami środkowosymetrycznymi są też na przykład odcinek, prosta, okrąg, kwadrat.

R1APoV7tTaYWS1

Rysunek odcinka, okręgu i kwadratu. Środkiem symetrii odcinka jest jego środek. Środkiem symetrii okręgu jest jego środek. Środkiem symetrii kwadratu jest punkt przecięcia jego przekątnych.. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Jak myślisz, czy figura osiowosymetryczna jest zawsze figurą środkowosymetryczną?

RR2H8r15kol0w1

Ćwiczenie 1

Wskaż figurę, która ma nieskończenie wiele środków symetrii.

Ciekawostka

Element architektoniczny przypominający rozwiniętą różę, zwany rozetą, był często wykorzystywany w renesansowych budowlach. Rozeta była zwykle w kształcie figury środkowosymetrycznej. Miało to istotne znaczenie praktyczne. Gdy bowiem fragment tej rozety ulegał zniszczeniu, można ją było łatwo odrestaurować na podstawie tej jej części, która została.

Przykład 3

Obracając figurę środkowosymetryczną o $180 °$ wokół środka symetrii, otrzymujemy tę samą figurę.

Ciekawostka

Jeżeli figura ma więcej niż jeden środek symetrii, to ma ich nieskończenie wiele.
Przykładem takiej figury jest dowolna prosta.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Która z figur na rysunku jest środkowosymetryczna?

R1CYLGCdjhBvH

static

ix3fR80fJ6_d5e311

Ćwiczenie 3

Która z figur na rysunku nie jest środkowosymetryczna?

R1ZHT3p6GYw0N1

Rysunek czterech różnych figur. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura $A, C, D$

Ćwiczenie 4

Narysuj figurę, (o ile istnieje) która ma

jeden środek symetrii
dwa środki symetrii
nieskończenie wiele środków symetrii

classicmobile

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1MLNTp60F3R0

Istnieje figura środkowosymetryczna, która ma oś symetrii.
Nie istnieje figura, która ma więcej niż jeden środek symetrii.
Jeśli czworokąt ma środek symetrii, to jest równoległobokiem.
Trójkąt równoboczny ma środek symetrii.

static

classicmobile

Ćwiczenie 6

Wskaż napis, który ma środek symetrii.

RcnFAEaQcztJ7

static

Ćwiczenie 7

Narysuj figurę składającą się z dwóch okręgów, która ma dokładnie jeden środek symetrii.

Ćwiczenie 8

Dokończ poniższe zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

Środkiem symetrii odcinka jest jego …
Środkiem symetrii kwadratu jest …
Środkiem symetrii figury złożonej z dwóch prostych prostopadłych jest …

classicmobile

Ćwiczenie 9

Więcej niż jeden środek symetrii ma

RovBcOP4nl0NF

prosta
okrąg
trójkąt równoboczny
odcinek

static

ix3fR80fJ6_d5e570

classicmobile

Ćwiczenie 10

Dokładnie jeden środek symetrii ma

RAKNLnIt8cpG3

prostokąt
figura złożona z dwóch prostych równoległych
koło

static

Ćwiczenie 11

Podaj warunek, jaki muszą spełniać przekątne czworokąta środkowosymetrycznego.

Ćwiczenie 12

Środek symetrii równoległoboku jest oddalony o $2 cm$ od boku długości $6 cm .$ Oblicz pole tego równoległoboku.

Pole równoległoboku jest równe $24 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 13

Środek symetrii kwadratu znajduje się w odległości $3 dm$ od boku. Oblicz obwód kwadratu.

Obwód kwadratu jest równy $24 dm$ .

Ćwiczenie 14

Dane są $3$ okręgi o jednakowych promieniach. Czy można je tak rozmieścić, aby nie pokrywały się i aby stanowiły figurę środkowosymetryczną? Jeśli tak – sporządź odpowiedni rysunek.

Ćwiczenie 15

Narysuj figurę, jeśli jest to możliwe, która

ma środek symetrii i oś symetrii
ma środek symetrii, ale nie ma osi symetrii
ma co najmniej dwa środki symetrii, ale nie ma osi symetrii

Ćwiczenie 16

Czy wielokąt o nieparzystej liczbie boków może być figurą środkowosymetryczną? Dlaczego?

Symetria względem punktu

Wielokąty foremne