Bryły obrotowe powstają w wyniku obrotu figury płaskiej dookoła prostej będącej osią obrotu. W tym rozdziale zajmiemy się trzema bryłami obrotowymi: walcem, stożkiem i kulą.
Walec
Definicja: Walec
Walec jest to bryła, która powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.
RuqgbLvqWoB5o1
Animacja pokazuje walec, który otrzymujemy w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej (osi obrotu) zawierającej jeden z boków prostokąta. Wysokość walca jest równa H a promień podstawy walca jest równy r.
Animacja pokazuje walec, który otrzymujemy w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej (osi obrotu) zawierającej jeden z boków prostokąta. Wysokość walca jest równa H a promień podstawy walca jest równy r.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RN7X7teQvBkKY1
Animacja pokazuje walec, w którym kolejno zaznaczamy elementy: oś obrotu, podstawy walca, promienie podstaw walca, średnice walca, tworzącą walca, wysokość walca, powierzchnię boczną walca, przekrój osiowy walca, przekątną przekroju osiowego walca oraz kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy. Tworzącą walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca, zawarty w płaszczyźnie bocznej walca. Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca i prostopadły do tych podstaw. W szczególności każda tworząca jest jego wysokością.
Animacja pokazuje walec, w którym kolejno zaznaczamy elementy: oś obrotu, podstawy walca, promienie podstaw walca, średnice walca, tworzącą walca, wysokość walca, powierzchnię boczną walca, przekrój osiowy walca, przekątną przekroju osiowego walca oraz kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy. Tworzącą walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca, zawarty w płaszczyźnie bocznej walca. Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca i prostopadły do tych podstaw. W szczególności każda tworząca jest jego wysokością.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Zapamiętaj!
Pole powierzchni całkowitej walca jest równe:
Objętość walca jest równa:
RBArzW7o4VWUf1
Animacja 3D pokazuje stojące na stole kubki w kształcie walca. Kreślone są krawędzie jednego kubka – powstaje walec, który następnie rozkłada się na siatkę walca.
Animacja 3D pokazuje stojące na stole kubki w kształcie walca. Kreślone są krawędzie jednego kubka – powstaje walec, który następnie rozkłada się na siatkę walca.
Animacja 3D pokazuje stojące na stole kubki w kształcie walca. Kreślone są krawędzie jednego kubka – powstaje walec, który następnie rozkłada się na siatkę walca.
RFZ8Sqwf8pfjJ1
Animacja 3D pokazuje siatkę walca, która składa się w walec. Następnie walec zamienia się w kubek. Na stole stoją kubki w kształcie walca.
Animacja 3D pokazuje siatkę walca, która składa się w walec. Następnie walec zamienia się w kubek. Na stole stoją kubki w kształcie walca.
Animacja 3D pokazuje siatkę walca, która składa się w walec. Następnie walec zamienia się w kubek. Na stole stoją kubki w kształcie walca.
iQZhteOrTa_d5e170
Przykład 1
Oblicz objętość walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o bokach i wokół dłuższego boku.
RQmGTwnwjObjP1
Animacja ilustruje obliczanie objętości walca. Dany jest prostokąt o bokach 12 cm i 16 cm. W wyniku obrotu prostokąta dookoła dłuższego boku, zawierającego oś obrotu, otrzymujemy walec o wysokości H = 16 cm i promieniu podstawy r= 12 cm. Wynika z tego, że objętość walca jest równa V = pi r kwadrat razy H = 12 kwadrat razy 16 razy pi = 2304 pi centymetrów sześciennych.
Animacja ilustruje obliczanie objętości walca. Dany jest prostokąt o bokach 12 cm i 16 cm. W wyniku obrotu prostokąta dookoła dłuższego boku, zawierającego oś obrotu, otrzymujemy walec o wysokości H = 16 cm i promieniu podstawy r= 12 cm. Wynika z tego, że objętość walca jest równa V = pi r kwadrat razy H = 12 kwadrat razy 16 razy pi = 2304 pi centymetrów sześciennych.
Animacja 3D pokazuje baterię elektryczną. Kreślone są krawędzie – powstaje walec. Następnie przekroje skośne i poprzeczne dzielą walce na dwie bryły.
Przykład 2
Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego przekątna jest równa . Oblicz objętość walca.
R1T4OmkrO4mft1
Animacja ilustruje obliczanie objętości walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego przekątna jest równa 24 pierwiastki z sześciu. Jeden z boków kwadratu jest średnicą walca, a drugi wysokością walca. Znając długość przekątnej możemy obliczyć jego bok 24 pierwiastki z sześciu = a razy pierwiastek z dwóch, czyli a = 24 pierwiastki z trzech. Średnica walca jest równa 2r= 24 pierwiastki z trzech, więc promień podstawy r = 12 pierwiastków z trzech a wysokość walca H = 24 pierwiastki z trzech. Zatem objętość walca V = pi r kwadrat razy H = (dwanaście pierwiastków z trzech) do kwadratu razy 24 pierwiastki z trzech razy pi = 10368 pierwiastka z trzech pi centymetrów sześciennych.
Animacja ilustruje obliczanie objętości walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego przekątna jest równa 24 pierwiastki z sześciu. Jeden z boków kwadratu jest średnicą walca, a drugi wysokością walca. Znając długość przekątnej możemy obliczyć jego bok 24 pierwiastki z sześciu = a razy pierwiastek z dwóch, czyli a = 24 pierwiastki z trzech. Średnica walca jest równa 2r= 24 pierwiastki z trzech, więc promień podstawy r = 12 pierwiastków z trzech a wysokość walca H = 24 pierwiastki z trzech. Zatem objętość walca V = pi r kwadrat razy H = (dwanaście pierwiastków z trzech) do kwadratu razy 24 pierwiastki z trzech razy pi = 10368 pierwiastka z trzech pi centymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3
Objętość walca jest równa , a średnica podstawy walca jest 2 razy dłuższa od jego wysokości. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
R1N9rokdU5Q1A1
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Objętość walca jest równa 729 pi centymetrów sześciennych, a średnica podstawy walca jest dwa razy dłuższa od jego wysokości. Objętość walca V = pi r kwadrat razy H. Z treści wynika, że 729 pi = pi r kwadrat razy H. Ponieważ średnica podstawy walca jest dwa razy dłuższa od jego wysokości, to 2r = 2H, czyli r = H. Zatem 729 pi = pi r kwadrat razy r. Z tego r = 9 cm. Pole powierzchni całkowitej walca P indeks dolny c = 2 pi r kwadrat + 2 pi r razy H = 2 pi r kwadrat + 2 pi r kwadrat = 4 pi r kwadrat = 4 pi razy 9 kwadrat = 324 pi centymetrów kwadratowych.
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Objętość walca jest równa 729 pi centymetrów sześciennych, a średnica podstawy walca jest dwa razy dłuższa od jego wysokości. Objętość walca V = pi r kwadrat razy H. Z treści wynika, że 729 pi = pi r kwadrat razy H. Ponieważ średnica podstawy walca jest dwa razy dłuższa od jego wysokości, to 2r = 2H, czyli r = H. Zatem 729 pi = pi r kwadrat razy r. Z tego r = 9 cm. Pole powierzchni całkowitej walca P indeks dolny c = 2 pi r kwadrat + 2 pi r razy H = 2 pi r kwadrat + 2 pi r kwadrat = 4 pi r kwadrat = 4 pi razy 9 kwadrat = 324 pi centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4
Powierzchnia boczna walca jest kwadratem o przekątnej długości Oblicz objętość tego walca.
RGQGVehH2f3kP1
Animacja pokazuje obliczanie objętości walca o promieniu podstawy r. Powierzchnia boczna walca jest kwadratem o przekątnej długości 8 pierwiastków z dwóch centymetrów. Ponieważ przekątna kwadratu jest równa d = 8 pierwiastków z dwóch, więc bok kwadratu a = 8 cm. Jeden z boków kwadratu jest równy wysokości H walca, zatem H = 8 cm. Drugi z boków po zwinięciu walca, stanowi obwód koła, które jest podstawą walca. Wynika z tego, że 2 pi r = 8 cm, czyli r = cztery dzielone przez pi. Objętość walca V = pi r kwadrat razy H = pi razy (cztery przez pi) do kwadratu razy 8 = 128 dzielone przez pi centymetrów sześciennych.
Animacja pokazuje obliczanie objętości walca o promieniu podstawy r. Powierzchnia boczna walca jest kwadratem o przekątnej długości 8 pierwiastków z dwóch centymetrów. Ponieważ przekątna kwadratu jest równa d = 8 pierwiastków z dwóch, więc bok kwadratu a = 8 cm. Jeden z boków kwadratu jest równy wysokości H walca, zatem H = 8 cm. Drugi z boków po zwinięciu walca, stanowi obwód koła, które jest podstawą walca. Wynika z tego, że 2 pi r = 8 cm, czyli r = cztery dzielone przez pi. Objętość walca V = pi r kwadrat razy H = pi razy (cztery przez pi) do kwadratu razy 8 = 128 dzielone przez pi centymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5
Podstawą walca jest koło o średnicy dm. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
R198Tyx2R3R4L1
Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni bocznej walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Średnica podstawy jest równa 12 pierwiastków z trzech decymetrów, więc promień podstawy r = 6 pierwiastków z trzech decymetrów. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy tangens kąta 60 stopni = H dzielone przez 2r, czyli pierwiastek z trzech = H dzielone przez 12 pierwiastków z trzech. Z tego wynika, że H = 36 dm. Wobec tego pole powierzchni bocznej walca P indeks dolny b = 2 pi r razy H = 2 pi razy sześć pierwiastków z trzech razy dwadzieścia cztery pierwiastki z trzech = 864 pi decymetrów kwadratowych.
Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni bocznej walca o wysokości H i promieniu podstawy r. Średnica podstawy jest równa 12 pierwiastków z trzech decymetrów, więc promień podstawy r = 6 pierwiastków z trzech decymetrów. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy tangens kąta 60 stopni = H dzielone przez 2r, czyli pierwiastek z trzech = H dzielone przez 12 pierwiastków z trzech. Z tego wynika, że H = 36 dm. Wobec tego pole powierzchni bocznej walca P indeks dolny b = 2 pi r razy H = 2 pi razy sześć pierwiastków z trzech razy dwadzieścia cztery pierwiastki z trzech = 864 pi decymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iQZhteOrTa_d5e235
A
Ćwiczenie 1
Prostokąt o bokach i obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca, który powstanie w wyniku tego obrotu.
,
A
Ćwiczenie 2
Kwadrat o polu obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca otrzymanego w wyniku tego obrotu.
A
Ćwiczenie 3
Walec o promieniu powstał w wyniku obrotu prostokąta, którego przekątna jest równa . Oblicz objętość walca.
A
Ćwiczenie 4
Przekątna przekroju osiowego walca ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy walca pod kątem . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
,
A
Ćwiczenie 5
Oblicz objętość walca, którego wysokość jest równa , a pole powierzchni bocznej .
A
Ćwiczenie 6
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
,
iQZhteOrTa_d5e354
A
Ćwiczenie 7
Pole podstawy walca jest równe i stanowi 30% pola powierzchni bocznej. Oblicz objętość tego walca.
B
Ćwiczenie 8
naczynia w kształcie walca o średnicy i wysokości jest wypełnione wodą. Ile sześciennych kostek o krawędzi można wrzucić do tego naczynia, tak aby woda nie wylała się z niego?
Do tego naczynia można wrzucić nie więcej niż kostek.
A
Ćwiczenie 9
R1TAoAGNNhNqn1
E‑podręczniki z matematyki
E‑podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10
R1ViOPuZt6AFz1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11
RMjAZq0xX6xn41
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
