Przypomnijmy własności funkcji tangens, z których będziemy korzystać przy rozwiązywaniu równań.
o własnościach funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens
Opiszmy własności funkcji , gdy , gdzie .
Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Środkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych , gdzie .
Liczba rozwiązań równania w przedziale
Narysujmy wykres funkcji w przedziale . Narysujmy także prostą o równaniu , gdzie jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.
Poruszajmy suwakiem na poniższym aplecie.
RpoCkQaLQb5qh
Zauważmy, że w przedziale funkcja przyjmuje każdą wartość rzeczywistą dokładnie jeden raz. Zatem równanie ma w przedziale dokładnie jedno rozwiązanierozwiązanie równania z jedną niewiadomąjedno rozwiązanie. Na aplecie zostało oznaczone jako , czyli .
Rozwiązania równania w dziedzinie
Funkcja jest funkcją okresową o okresie zasadniczym .
Zobaczmy w aplecie, jak zachowują się punkty wspólne wykresu funkcji i prostej o równaniu .
R1DFr8myI8qUr
Zauważmy zatem, że jeżeli jest rozwiązaniem równania w przedziale , to wszystkie rozwiązaniazbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąwszystkie rozwiązania tego równania mają postać: , gdzie .
o rozwiązywaniu równania
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania
Algorytm szukania rozwiązań równania :
Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że .
Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania :
, gdzie .
Przykłady
Przykład 1
Rozwiążemy w przedziale równanie: .
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania w przedziale .
Ponieważ , to korzystając z zależności otrzymujemy: .
Zatem rozwiązaniem równania w przedziale jest .
Przykład 2
Rozwiążemy równanie: w całej dziedzinie.
Rozwiązanie
Skorzystamy z rozwiązania poprzedniego przykładu.
Rozwiązaniem równania w przedziale jest .
Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania , otrzymujemy odpowiedź: , gdzie .
Przykład 3
Rozwiążemy równanie .
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie do postaci: .
Podstawmy , otrzymujemy wówczas równanie .
Znajdujemy jedno rozwiązanie: .
Zatem rozwiązaniami równania są: , gdzie . Ponieważ , wówczas rozwiązaniami równania są , gdzie .
Przykład 4
Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa rozwiązania w przedziale .
Rozwiązanie
Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji jest jest przedział .
Funkcja wartość przyjmuje tylko dla argumentu , natomiast każdą wartość dodatnią przyjmuje dla dwóch argumentów o przeciwnych znakach.
Zatem równanie ma dwa rozwiązania w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy .