Przeczytaj

Przypomnijmy własności funkcji tangens, z których będziemy korzystać przy rozwiązywaniu równań.

o własnościach funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji $y = tg x$ , gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Środkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Liczba rozwiązań równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Narysujmy wykres funkcji $y = tg x$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Narysujmy także prostą o równaniu $y = a$ , gdzie $a$ jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

Poruszajmy suwakiem na poniższym aplecie.

RpoCkQaLQb5qh

Zauważmy, że w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ funkcja $y = tg x$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą dokładnie jeden raz. Zatem równanie $tg x = a$ ma w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ dokładnie jedno rozwiązaniejedno rozwiązanie. Na aplecie zostało oznaczone jako $x_{0}$ , czyli $tg x_{0} = a$ .

Rozwiązania równania $tg x = a$ w dziedzinie

Funkcja $y = tg x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .

Zobaczmy w aplecie, jak zachowują się punkty wspólne wykresu funkcji $y = tg x$ i prostej o równaniu $y = a$ .

R1DFr8myI8qUr

Zauważmy zatem, że jeżeli $x_{0}$ jest rozwiązaniem równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , to wszystkie rozwiązaniawszystkie rozwiązania tego równania mają postać: $x = x_{0} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Algorytm szukania rozwiązań równania $tg x = a$ :

Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $tg x_{0} = a$ .
Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania $tg x = a$ :

x = x_{0} + k π

, gdzie

k \in ℤ

Przykłady

Przykład 1

Rozwiążemy w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ równanie: $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Ponieważ $tg \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , to korzystając z zależności $tg (- x) = - tg x$ otrzymujemy:
$tg (- \frac{π}{6}) = - tg \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem rozwiązaniem równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ jest $x = - \frac{π}{6}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w całej dziedzinie.

Rozwiązanie

Skorzystamy z rozwiązania poprzedniego przykładu.

Rozwiązaniem równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ jest $x_{0} = - \frac{π}{6}$ .

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania $tg x = a$ , otrzymujemy odpowiedź:
$x = - \frac{π}{6} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\sqrt{3} tg (2 x + 1) = - 3$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie do postaci: $tg (2 x + 1) = - \sqrt{3}$ .

Podstawmy $z = 2 x + 1$ , otrzymujemy wówczas równanie $tg z = - \sqrt{3}$ .

Znajdujemy jedno rozwiązanie: $z_{0} = - \frac{π}{3}$ .

Zatem rozwiązaniami równania $tg z = - \sqrt{3}$ są: $z = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Ponieważ $z = 2 x + 1$ , wówczas rozwiązaniami równania są $x = - \frac{1}{2} - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru $m \in ℝ$ równanie $| tg x | = m^{2} - 3 m$ ma dwa rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji $y = | tg x |$ jest jest przedział $⟨ 0, + \infty)$ .

Funkcja $y = | tg x |$ wartość $0$ przyjmuje tylko dla argumentu $0$ , natomiast każdą wartość dodatnią przyjmuje dla dwóch argumentów o przeciwnych znakach.

Zatem równanie $| tg x | = m^{2} - 3 m$ ma dwa rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m^{2} - 3 m > 0$ .

Rozwiązujemy nierówność kwadratową: $m (m - 3) > 0$ ,
otrzymujemy odpowiedź: $m \in (- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$ .

Słownik

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczb po prawej i lewej stronie równania.

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie.

Wprowadzenie

Animacja

Liczba rozwiązań równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Rozwiązania równania $tg x = a$ w dziedzinie

Przykłady

Słownik

Wprowadzenie

Animacja

Przeczytaj

Liczba rozwiązań równania tgx=a w przedziale (-π2,π2)

Rozwiązania równania tgx=a w dziedzinie

Przykłady

Słownik

Liczba rozwiązań równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Rozwiązania równania $tg x = a$ w dziedzinie