3. Figury osiowosymetryczne

R1CkEpeqHZcvZ

Według Słownika Języka Polskiego PWN symetria to podzielność przedmiotu na odpowiadające sobie jednakowe lub analogiczne części, będące swym zwierciadlanym odbiciem albo pokrywające się po obrocie wokół punktu lub prostej albo inaczej „równowaga i zgodność między poszczególnymi elementami jakiejś całości”.

Pojęcie symetrii znane jest od czasów starożytnych. Symetryczne są różne obiekty w przyrodzie oraz arcydzieła architektury i sztuki.

Rq5DzcFL7TUvt

Ilustracja przedstawia kolorowego motyla. Na jego tułowiu poprowadzono prostą. Oznacza ona, że skrzydła owada są symetryczne. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

REo1BT95CkpXf

Ilustracja przedstawia łuk triumfalny. Na jego środku poprowadzono prostą. Mówi ona o tym, że prawa strona łuku jest identyczna jak lewa. — Źródło: Pixabay.com, *Łuk Triumfalny, Paryż*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R12PTAcckyF4O

Ilustracja przedstawia płatek śniegu. Przez jego środek przebiega prosta. Jest to oś symetrii, oznaczająca podzielenie figury na dwie identyczne części. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

RsuGdwVv6FqiP

Ilustracja przedstawia Taj Mahal. Przez budynek przebiega prosta, oś symetrii dzieląca budowlę na dwie równe części. — Źródło: Pixabay.com, *Taj Mahal, Indie*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R10H7mE4cbovy

Ilustracja przedstawia sowę. Pomiędzy jej oczami oraz przez środek dziobu przechodzi oś symetrii. Dzieli ona głowę zwierzęcia na dwie równe części. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W tym materiale zawarte są informacje na temat figur osiowosymetrycznych. Podana jest definicja oraz niektóre własności tych figur. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.

R1TGWWwaLUxxM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Figura $F_{2}$ jest obrazem figury $F_{1}$ w symetrii względem prostej $p$ . Przesuwając suwak możemy połączyć figury $F_{1}$ i $F_{2}$ , otrzymując figurę $G$ w kształcie gitary.

R1XIbIrbhrkuW1

W symetrii względem prostej $p$ punkty figury $G$ , które należały do figury $F_{1}$ , można przekształcić na odpowiednie punkty figury $F_{2}$ . Zatem każdy punkt figury $G$ można przekształcić w symetrii względem prostej $p$ na punkt należący również do figury $G$ . O takiej figurze mówimy, że jest osiowosymetryczna.

Weźmy trzy dowolne punkty $A$ , $B$ , $C$ i znajdźmy obrazy $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tych punktów w symetrii względem prostej $p$ .

R82DHdqBrCbzY1

Figura osiowosymetryczna

Definicja: Figura osiowosymetryczna

Figurę $G$ nazywamy osiowosymetryczną, jeżeli istnieje taka prosta $p$ , iż każdy punkt figury $G$ , po przekształceniu w symetrii względem prostej $p$ , należy do figury $G$ .
Prostą $p$ nazywamy osią symetrii figury $G$ .

Przykłady figur osiowosymetrycznych

R1CcvFpCwHQpH1

Rysunek bramy, muchy i tulipana. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura osiowosymetryczna jest swoim obrazem w symetrii osiowej.

Przykład 1

Przykłady czworokątów osiowosymetrycznych.

RXQo2AtnJrLgY1

Rysunek rombu, trapezu równoramiennego, kwadratu i prostokąta. W rombie poprowadzone dwie osie symetrii, w trapezie jedna oś symetrii, w kwadracie cztery osie symetrii, a w prostokącie dwie osie symetrii. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R778ZDbzwwRi11

Odpowiedź:

W ten sposób możemy otrzymać różne trapezy równoramienne, deltoidy oraz trójkąty równoramienne.

Ćwiczenie 1

Wskaż w najbliższym otoczeniu elementy, które można przyjąć za modele figur osiowosymetrycznych.

Ważne!

Obiekty, które przedstawiono na rysunkach w przykładowej odpowiedzi do ćwiczenia $1$ można uznać za figury osiowosymetryczne, ale w rzeczywistości są one bryłami.

Przykład 3

Przyjrzyjmy się wielokątom na rysunku. Ile osi symetrii ma każdy z nich?

RXfoBqNMT8I791

Rysunek trójkąta równobocznego i kwadratu. W trójkącie i kwadracie poprowadzone osie symetrii. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, a kwadrat ma $4$ osie symetrii.

Ćwiczenie 2

Każdy z narysowanych wielokątów ma osie symetrii. Wskaż je.

Każdy z narysowanych wielokątów ma osie symetrii. Wskaż je. Podaj ile osi symetrii ma każda z nich.

R1J7pX06jtkzM1

Rysunki pięciokąta foremnego, gwiazdy pięcioramiennej i sześciokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Hq1pXoaQi3D1

Rysunki pięciokąta foremnego, gwiazdy pięcioramiennej i sześciokąta foremnego. Pięciokąt ma pięć osi symetrii, gwiazda pięć osi symetrii a sześciokąt ma sześć osi symetrii. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie rysunku możemy zauważyć, że figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii.
Natomiast nie każda figura ma oś symetrii.

Pięciokąt ma $5$ osi symetrii, gwiazda pięcioramienna ma $5$ osi symetrii, a sześciokąt ma $6$ osi symetrii.

Możemy zauważyć, że figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii. Natomiast nie każda figura ma oś symetrii.

Przykład 4

Przykłady figur, które nie mają osi symetrii.

RD7PmxlaWCJrA1

Rysunki budzika, kątomierza i słoika. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Płatki śniegu mają przepiękne kształty. Być może dlatego, że zawsze posiadają aż sześć osi symetrii. Ponadto każdy płatek jest wyjątkowy. Nie ma dwóch identycznych.

RJG1bDeDRTyr61

Zdjęcia trzech różnych płatków śniegu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figury osiowosymetryczne można otrzymać, wykorzystując symetrię względem prostej.

Rk7zzHRxMz8Vu1

R1WBrMpI5RuHI11

Polecenie 2

Figura w kolorze niebieskim, umieszczona na rysunku, jest osiowosymetryczna względem prostej w kolorze zielonym. Utwórz z zielonych łuków figurę symetryczną do początkowej względem prostej w kolorze szarym.

R1PYJG0z4he461

R1bZrIduN2AqK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Ułóż zielone łuki tak, aby figura na rysunku była osiowosymetrycna.

R66BRV5iXBrIb1

R1YBTU7D80lyY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 4

RRyLYwG00pGg21

R3WuB5Fp9hB2P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKNUj34hZQRcM

Ćwiczenie 3

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile osi symetrii ma odcinek? Ile punktów wspólnych mają te osie?
Odpowiedź: Odcinek ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osie symetrii, mają one 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery punkt wspólny
Ile osi symetrii ma okrąg? Czy mają one punkt wspólny?
Odpowiedź: Okrąg ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osi symetrii. Ich punktem wspólnym jest 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery.
Czy kwadrat ma osie symetrii?
Odpowiedź: Kwadrat ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osie symetrii.
Czy każdy wielokąt ma oś symetrii?
Odpowiedź: Nie każdy wielokąt ma oś symetrii, np. 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery nie ma osi symetrii.
Czy prosta jest figurą osiowosymetryczną?
Odpowiedź: 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery, prosta 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery nieskończenie wiele osi symetrii.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 5

RIdzbHDzdMG6O1

R1UsyihSUeMFf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Poszukaj figur osiowo symetrycznych wśród dużych drukowanych liter alfabetu łacińskiego.

Które z tych liter mają oś symetrii?
Czy są wśród tych liter takie, które mają więcej niż jedną oś symetrii?

R13CuHU2dsMBy1

Rysunek dwudziestu sześciu kolejnych liter alfabetu łacińskiego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6jLmzUIvv2ak

Przeciągnij litery do odpowiednich grup. W alfabecie łacińskim osie symetrii mają litery: Możliwe odpowiedzi: 1.

H

, 2.

T

, 3.

U

, 4.

I

, 5.

C

, 6.

O

, 7.

O

, 8.

V

, 9.

B

, 10.

X

, 11.

A

, 12.

X

, 13.

Y

, 14.

W

, 15.

D

, 16.

M

, 17.

I

, 18.

H

Dwie osie symetrii mają litery: Możliwe odpowiedzi: 1.

H

, 2.

T

, 3.

U

, 4.

I

, 5.

C

, 6.

O

, 7.

O

, 8.

V

, 9.

B

, 10.

X

, 11.

A

, 12.

X

, 13.

Y

, 14.

W

, 15.

D

, 16.

M

, 17.

I

, 18.

H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Narysuj czworokąt, który ma

jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.

RsE5Onnqa5qk4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj czworokąt, który ma

jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.

RhTSn8K3mo2Fm

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wśród figur przedstawionych na rysunku wskaż figury osiowosymetryczne.

RGcx0oJcjPxdg1

Na pierwszym rysunku znajduje się wysoka wieża oraz dwa budynki pod nią. Budynek po prawej stronie wieży jest wyższy niż ten po lewej. Na drugim rysunku znajduje się niebieska torebka z poziomą kokardą. Na trzecim rysunku znajduje się prosty wazon. Na czwartym rysunku znajduje się rower. Na piątym rysunku znajduje się czarna torba z paskiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figurę $G$ nazywamy osiowosymetryczną, jeżeli istnieje taka prosta $p$ , iż każdy punkt figury $G$ po przekształceniu w symetrii względem prostej $p$ należy do figury $G$ .

RfvZiO0rbVssB

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RehEuxPp94QwJ

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Narysuj figurę $G$ , która ma co najmniej jedną oś symetrii i która składa się z

dwóch okręgów,
dwóch prostych,
trzech punktów,
pięciu prostych.

R1NsRvpmsom66

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj przykład figury, która ma co najmniej jedną oś symetrii i która składa się z

dwóch okręgów,
dwóch prostych,
trzech punktów,
pięciu prostych.

RzLjK1oYaPH21

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Dwusieczna kąta

4. Figury środkowosymetryczne