Wartość bezwzględna - definicja

Learning objectives

• You will learn to apply geometric and algebraic interpretations of the absolute valueabsolute valueabsolute value of a number and solve equations and inequalities of the following type: $|x+4|=5,|x-2|<3,|x+3|\ge 4.$

Learning effect

• You apply geometric and algebraic interpretations of the absolute value of a number and solve equations and inequalities of the following type: $|x+4|=5,|x-2|<3,|x+3|\ge 4.$

Revise information about number intervals – types, ways of marking them on the number linenumber linenumber line and how to write them down.

After having completed the exercise, present results of your observations and compare them with the following ones:

• The distance between the number $a$ and zerodistance between the number $a$ and zerodistance between the number $a$ and zero on the number line is called the absolute valueabsolute valueabsolute value of the number $a$ and is marked as $\left|a\right|$.

• For any real number $a, \left|a\right|=|-a|$.

• For any real number $a, \left|a\right|\ge 0$.

Task 2

R1JN5EdIUabcL1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Solve equations using the example presented in the frame.

$\left|x\right|=a, a\ge 0, x=?$ Rytcy7vG290SF1 Rysunek przedstawia oś liczbową x z zaznaczonymi punktami: minus a, zero oraz a. Odległości liczby a i liczby minus a od zera zostały zaznaczone strzałkami i są takie same. $\left|x\right|=a\iff x=-a \mathrm{or} x=a$

a) $\left|x\right|=5$

b) $|x-5|=10$

c) $|2x+3|=7$

Task 3

R1LWnHDYa8QOz1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Mark on the number linenumber linenumber line all numbers $x$ that satisfy the inequality, using the example presented in the frame. Write the proper number interval.

$\left|x\right|<a, a\ge 0, x=?$ R42PYQH2Ingwe1 Rysunek przedstawia oś liczbową x z zaznaczonymi punktami: minus a, zero oraz a. Odległości liczby a i liczby minus a od zera zostały zaznaczone strzałkami i są takie same. Na osi liczbowej został zaznaczony przedział otwarty od minus a do a. $\left|x\right|<a\iff x\in (-a,a)$

a) $\left|x\right|<5$

b) $\left|x\right|<10$

Task 4

R1LWnHDYa8QOz1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Mark on the number line all numbers $x$ that satisfy the inequality, using the example presented in the frame. Write the proper number interval.

$\left|x\right|>a, a\ge 0, x=?$ Rto62j2LMx0af1 Rysunek przedstawia oś liczbową x z zaznaczonymi punktami: minus a, zero oraz a. Odległości liczby a i liczby minus a od zera zostały zaznaczone strzałkami i są takie same. Na osi liczbowej zostały zaznaczone przedziały otwarte od minus nieskończoności do minus a oraz od a do plus nieskończoności. $\left|x\right|>a\iff x\in (-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$

a) $\left|x\right|>4$

b) $\left|x\right|>1$

Task 5

RiO75VsEyzByv1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Solve equations using information presented in the frame.

The distance between numbers $a$ and $b$ on the number linedistance between numbers $a$ and $b$ on the number linedistance between numbers $a$ and $b$ on the number line is equal to the absolute valueabsolute valueabsolute value of their difference $|a-b|$. The form $|x-2|=4$ means that the distance between the number $x$ and number 2 is equal to 4. Rqq5CGl9bV4dz1 Rysunek przedstawia oś liczbową x z zaznaczonymi punktami: minus 2, 2 oraz 6. Odległości liczby minus 2 od liczby 2 oraz liczby 6 od liczby 2 zostały zaznaczone strzałkami, są takie same i wynoszą 4. Powyżej osi liczbowej znajduje się równanie |x-2|=4. Therefore $x=-2 \mathrm{or} x=6$.

a) $|x-5|=3$

b) $|x+2|=4$

Do the revision exercises.

• The distance between the number $a$ and zero on the number line is called the absolute valueabsolute valueabsolute value of the number $a$ and is marked as $\left|a\right|$,

• For any real number $a$, $\left|a\right|=|-a|$,

• For any real number $a$, $\left|a\right|\ge 0$.

Exercises

Exercise 3

Write the inequality, using the absolute value, whose solutions are numbers belonging to the interval in the picture. Write this interval. Describe the difference between closed and open intervalopen intervalopen interval in English.

RxfWdRf3odKWz1

Rysunek przedstawia przedział liczbowy otwarty od minus pięć do minus jeden.

Glossary

Keywords

absolute valueabsolute valueabsolute value

closed intervalclosed intervalclosed interval

distance between numbers $a$ and $b$ on the number linedistance between numbers $a$ and $b$ on the number linedistance between numbers $a$ and $b$ on the number line

distance between the number $a$ and zerodistance between the number $a$ and zerodistance between the number $a$ and zero

open intervalopen intervalopen interval