Formulate and prove the triangle angle sum theorem on the basis of the figure above.
RUeAWRJd0ulkL1
Rysunek przedstawia trójkąt ABC o kątach α, β, γ. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą równoległą do boku AB. Zaznaczono kąt delta między bokiem AC i prostą oraz kąt epsilon między bokiem BC a prostą.
Open the Geogebra applet - Angles and diagonals in quadrilaterals. Answer the following questions with reference to the squaresquaresquare, the rectanglerectanglerectangle, the rhombusrhombusrhombus and the parallelogramparallelogramparallelogram. Think about which properties are also true for the trapezoidtrapezoidtrapezoid
R19cpIYdcid9x1
Geogebra aplet - Kąty i przekątne w równoległoboku. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Geogebra aplet - Kąty i przekątne w równoległoboku. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Summarize the observed properties. Remember that the squaresquaresquare is a particular type of the rhombusrhombusrhombus and the rectanglerectanglerectangle is particular type of the parallelogram:
In the parallelogramparallelogramparallelogram, the sum of consecutive anglesconsecutive anglesconsecutive angles is equal to 180°.
In the parallelogram, the opposite anglesopposite anglesopposite angles are congruent.
The diagonals of a parallelogram bisect each other.
The diagonals in a rhombus are the bisectors of an angle.
In a trapezoidtrapezoidtrapezoid the sum of angles at the leg is equal to 180°.
1. The shorter diagonaldiagonaldiagonal divides the right trapezoid into two right isosceles triangles. Find the measure of the angles of this trapezoidtrapezoidtrapezoid.
2. The side and the shorter diagonal in the rhombusrhombusrhombus have the same length a. Find the length of the longer diagonaldiagonaldiagonal.
Task 4
An extra task:
The diagonals in a parallelogramparallelogramparallelogram intersect at the 60° angle and one of them is two times shorter than the other. Find the measure of the angle between the shorter side of the parallelogram and its longer diagonaldiagonaldiagonal.
Exercises
RniRbt1KNlzbA
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: For which of the quadrilaterals listed below is the statement true? Mark all correct answers. The diagonals are perpendicular and bisect each other in. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. square, 2. rhombus, 3. rectangle, 4. trapezoid, 5. parallelogram
Wersja alternatywna ćwiczenia: For which of the quadrilaterals listed below is the statement true? Mark all correct answers. The diagonals are perpendicular and bisect each other in. Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. square, 2. rhombus, 3. rectangle, 4. trapezoid, 5. parallelogram
For which of the quadrilaterals listed below is the statement true? Mark all correct answers. The diagonals are perpendicular and bisect each other in. Determine which sentences are true.
square
rhombus
rectangle
trapezoid
parallelogram
Exercise 2
In the rhombus the obtuse angle is four times greater than the acute angle. Find the measures of the angles in this rhombus.
36°, 144°, 36°, 144°.
Exercise 3
Given a trapezoid ABCD, the bisectors of DAB and ABC angles are constructed at the AB leg of the trapezoid. Prove that the bisectors intersect at the right angle.
Provide the proof in English.
Let O be the point of intersection of diagonals, be the measure of the DAB angle and be the measure of the ABC angle. From properties of the angles of the trapezoid, it follows that . The measure of the angle at the intersection point of the diagonals can be calculated from the triangle AOB: , which completes the proof.
RkRs9q8GavzVP
Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. kąty leżące przy tym samym boku, kąty sąsiednie Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square przekątna Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square trapez Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square kąty nie leżące przy tym samym boku, kąty przeciwne Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. kąty leżące przy tym samym boku, kąty sąsiednie Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square przekątna Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square trapez Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square kąty nie leżące przy tym samym boku, kąty przeciwne Możliwe odpowiedzi: 1. consecutive angles, 2. opposite angles, 3. trapezoid, 4. diagonal, 5. square
Match Polish terms with their English equivalents.
kąty nie leżące przy tym samym boku, kąty przeciwne
REKUPr33TuCK41
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
kąty nie leżące przy tym samym boku, kąty przeciwne
consecutive angles
przekątna
parallelogram
romb
opposite angles
kąty leżące przy tym samym boku, kąty sąsiednie
diagonal
równoległobok
rhombus
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
