Temat

Kąty i przekątne w czworokątach

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Wykorzystanie twierdzenia o sumie kątów trójkąta.

2. Wyznaczanie związków miarowych w czworokątach.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- dowodzi i stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta,

- wyznacza związki miarowe w czworokątach.

Metody kształcenia

1. Obserwacja.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel rozdaje każdej parze uczniów kartkę z poniższym rysunkiem.

[Ilustracja 1]

Uczniowie na podstawie rysunku, formułują i dowodzą twierdzenie o sumie kątów trójkąta.

Twierdzenie - suma kątów trójkąta.

- Suma kątów trójkąta jest równa 180°.

Uczniowie rozmawiają o sposobach zastosowania udowodnionego twierdzenia do wyznaczania związków miarowych w czworokątach.

Realizacja lekcji

Nauczyciel dzieli uczniów na 5 grup. Zadaniem grupy jest sformułowanie własności kątów i przekątnych w:

1) kwadracie,
2) prostokącie,
3) równoległoboku,
4) rombie,
5) trapezie.

Pytania pomocnicze dla danego czworokąta:

1. Czy suma kątów leżących przy jednym boku jest stała? Ile wynosi?
2. Czy kąty nie leżące przy tym samym boku są równe?
3. Pod jakim kątem przecinają się przekątne?
4. Czy przekątne równe?
5. Czy przekątne są dwusiecznymi kątów?

Polecenie
W pracy uczniowie mogą wykorzystać Aplet geogebry - Kąty i przekątne w równoległoboku.

[Geogebra aplet]

Podsumowaniem pracy w grupach powinno być sformułowanie następujących własności:

1. W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa 180°.
2. W równoległoboku kąty nie leżące przy jednym boku są równe.
3. Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.
4. W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym.
5. Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów.
6. W trapezie suma kątów przy ramieniu wynosi 180°.

Uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania, które następnie omawiane są na forum klasy.

Polecenie
W równoległoboku ABCD przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta BAD. Wykaż, że przekątne AC i BD tego równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

Polecenie
1. W trapezie prostokątnym poprowadzono krótszą przekątną, która podzieliła go na dwa równoramienne trójkąty prostokątne. Znajdź miary kątów tego trapezu.
2. W rombie bok i krótsza przekątna mają taką samą długość a. Wyznacz długość dłuższej przekątnej.

Polecenie dla chętnych:
Przekątne równoległoboku przecinają się pod kątem 60°, a jedna z nich jest dwa razy krótsza od drugiej. Wyznacz miarę kąta między krótszym bokiem równoległoboku a dłuższą przekątną.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze zależności do zapamiętania.

1. W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa 180°.
2. W równoległoboku kąty są przeciwne równe.
3. Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.
4. W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym.
5. Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów.
6. W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.