Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wykorzystania własności trójkątów w dowodzeniu twierdzeń. Następnie rozwiąż zadania zawarte w Poleceniu 2 oraz w Poleceniu 3. i porównaj z odpowiedziami.

R1cSAz7AXw1w7

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DeRKN8G6F

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej wykorzystania własności trójkątów w dowodzeniu twierdzeń.

Polecenie 2

W trójkącie $A B C$ mamy: $|A B| = 15$ , $|B C| = 10$ i kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $30^{°}$ . Wykaż, że długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ wynosi
$5 \sqrt{10 - 3 \sqrt{3}}$ .

RGfKq1rsN6Vz7

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Kąt przy wierzchołku B ma kąt 30 stopni. Z wierzchołka A poprowadzono prostą na ramie BC tworząc punkt D.

$A D$ – środkowa trójkąta $A B C$ poprowadzona z wierzchołka $A$ .

$|A B| = 15$ , $|B C| = 10$ i $∢ A B C = 30 °$ .

Środkowa $A D$ łączy wierzchołek $A$ trójkąta ze środkiem boku $C B$ , stąd:

$|C D| = |B D| = \frac{1}{2} |C B| = 5$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A D B$ : ${|A D|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B D|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B D| \cdot \cos ∢ A B D$ .

Podstawiamy: $|A B| = 15$ , $|B D| = 5$ , $∢ A B C = 30 °$ .

Otrzymujemy:

${|A D|}^{2} = 15^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 5 \cdot \cos 30^{\circ}$ i $\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${|A D|}^{2} = 15^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 250 - 75 \sqrt{3}$ .

$|A D| = \sqrt{250 - 75 \sqrt{3}} = \sqrt{25 (10 - 3 \sqrt{3})}$ .

$|A D| = 5 \sqrt{10 - 3 \sqrt{3}}$ .

Wykazaliśmy, że długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ wynosi $5 \sqrt{10 - 3 \sqrt{3}}$ .

Polecenie 3

W trójkącie równoramiennym $A B C$ dane są $|A C| = |B C| = a$ oraz $|A B| = b$ . Prowadzimy prostą równoległą do ramienia $A C$ tak, że $|C E| = |B D|$ . Wykaż, że obwód trójkąta $D B E$ wynosi: $\frac{2 a^{2} + a b}{a + b}$ .

Zapiszmy informacje z polcenia: $A B C$ dane są $|A C| = |B C| = a$ ,
$|A B| = b$ ,
$|C E| = |B D| = x$ , $A C ∥ D E$ .

R16q0npkv05xV

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Przez ramie AB i CB poprowadzono prostą tworząc trójkąt BDE. Ramie CE i DB ma długość x.

Trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D B E$ , ponieważ:

$∢ A B C$ wspólny kąt dla obu trójkątów.
$|∢ A C B| = |∢ D E B|$ kąty odpowiadające powstałe z przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą.
$|∢ C A B| = |∢ E D B|$ trzeci kąt w trójkącie.

Stąd też, z cechy ( $k k k$ ) podobieństwa trójkątów, $Δ A B C ~ Δ D B E$ .

$Δ A B C$ i $Δ D B E$ są podobne, więc odpowiednie boki są do siebie proporcjonalne:

$\frac{|B C|}{|B E|} = \frac{|A B|}{|D B|}$ .

$|B C| = a$ , $|B E| = a - x$ , $|A B| = b$ , $|D B| = x$ .

$\frac{a}{a - x} = \frac{b}{x}$ , dalej $a \cdot x = (a - x) \cdot b$ , dalej $a x = a b - x b$ , skąd $a x + x b = a b$ , a zatem $x (a + b) = a b$ .

$|D B| = x = \frac{a b}{a + b}$ .

$\frac{|A C|}{|E D|} = \frac{|A B|}{|D B|}$ .

Oznaczmy:

$|A C| = a$ , $|A B| = b$ , $|D B| = x$ .

Otrzymujemy:

$\frac{a}{|E D|} = \frac{b}{x}$ , następnie $|E D| \cdot b = a \cdot x$ , a dalej $|E D| = \frac{a}{b} \cdot x = \frac{a}{b} \cdot \frac{a b}{a + b} = \frac{a^{2}}{a + b}$ , skąd otrzymujemy $|E D| = \frac{a^{2}}{a + b}$ .

Boki trójkąta mają długości: $|D B| = \frac{a b}{a + b}$ , $|B E| = a - \frac{a b}{a + b}$ i $|E D| = \frac{a^{2}}{a + b}$ .

Stąd obwód: $L = |D B| + |B E| + |E B|$ :

$L = \frac{a b}{a + b} + a - \frac{a b}{a + b} + \frac{a^{2}}{a + b} = a + \frac{a^{2}}{a + b} = \frac{a (a + b)}{a + b} + \frac{a^{2}}{a + b} = \frac{a^{2} + a b}{a + b} + \frac{a^{2}}{a + b} = \frac{2 a^{2} + a b}{a + b}$ .

Wykazaliśmy, że obwód trójkąta $D B E$ wynosi $L = \frac{2 a^{2} + a b}{a + b}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się