a) Równość $\sin \alpha =3\cos \alpha$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy, że: ${\left(3\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$, zatem $10{\cos }^2\alpha =1$.

Z równania wynika, że ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$, więc $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

b) Wartość $\sin \alpha =\frac{1}{6}$ podstawiamy do jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy równanie: ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$.

Z równania mamy, że ${\cos }^2\alpha =\frac{35}{36}$, więc $\cos \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}$ lub $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{35}}{6}$.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem rozwartym, to $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{35}}{6}$.