Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem GeoGebry. Zauważ jak zmienia się pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa. Przesuwając punkt $A$ lub $B$ zmieniasz długość $a$ krawędzi podstawy, gdy przesuniesz punkt $D$ zmieniasz wysokość $H$ ostrosłupa, chwytając za suwak możesz otwierać lub zamykać siatkę ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Możesz obrócić ostrosłup przez przeciągnięcie myszką.

Zapoznaj się z poniższym apletem GeoGebry. Zauważ jak zmienia się pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa.

RMhyEeg8lKFAW

Polecenie 2

Niech krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ , zaś jego wysokość $H = 8$ . Korzystając z powyższego apletu ustaw punkt $A$ tak, aby aby krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale wysokość pozostaw bez zmiany. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego po zmianie oraz określ o ile razy się ono zwiększyło.

Niech krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ , zaś jego wysokość $H = 8$ . Następnie krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale wysokość pozostała bez zmian. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego po zmianie oraz określ o ile razy się ono zwiększyło.

ReGs80QF7EI4r

lustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź ściany bocznej podpisano literą b, wysokość ostrosłupa podpisano literą H. Wysokość podstawy podpisano hp, a wysokość ściany bocznej podpisano hs. W ostrosłupie zaznaczono tójkąt prosotkątny, jego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej hs, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa H oraz fragment wysokości podstawy. Obok ostrosłupa znajduje się trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej hs oraz przyprostokątnych H oraz 13hp=36a, zatem mamy wzór hs2=H2+19hp2=H2+112a2.

Pierwotne pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego obliczymy dla $a = 6$ i $H = 8$ : $P_{p} = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ .

Wysokość ściany bocznej:

$h^{2} = 8^{2} + \frac{1}{12} \cdot 6^{2} = 64 + 3 = 67$

$h = \sqrt{67}$

$P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{67} = 9 \sqrt{67}$

$P = P_{p} + P_{b} = 9 \sqrt{3} + 9 \sqrt{67} = 9 (\sqrt{3} + \sqrt{67})$

Po dwukrotnym zwiększeniu krawędzi podstawy mamy $a_{1} = 12$ i $H = 8$ .

$P_{p} = \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}$ oraz wysokość ściany bocznej

$h^{2} = 8^{2} + \frac{1}{12} \cdot 12^{2} = 64 + 12 = 76$

$h = \sqrt{76}$

$P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{76} = 18 \sqrt{76}$

Wówczas pole powierzchni ostrosłupa: $P = P_{p} + P_{b} = 36 \sqrt{3} + 18 \sqrt{76} = 18 (2 \sqrt{3} + \sqrt{76})$ .

Zatem, gdy krawędź podstawy wzrosła dwukrotnie, pole powierzchni ostrosłupa wzrosło prawie $2, 5$ -krotnie.

Polecenie 3

Niech krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ , zaś jego wysokość $H = 8$ . Korzystając z powyższego apletu ustaw punkt $D$ tak, aby odcinek $H$ zwiększył się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostaw bez zmiany. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego po zmianie i określ o ile razy się ono zwiększyło.

Niech krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ , zaś jego wysokość $H = 8$ . Następnie wysokość ostrosłupa zwiększyła się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostała bez zmian. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego po zmianie i określ o ile razy się ono zwiększyło.

Pierwotne pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego obliczymy dla $a = 6$ i $H = 8$ : $P_{p} = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ .

Wysokość ściany bocznej

$h^{2} = 8^{2} + \frac{1}{12} \cdot 6^{2} = 64 + 3 = 67$

$h = \sqrt{67}$

$P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{67} = 9 \sqrt{67}$

$P = P_{p} + P_{b} = 9 \sqrt{3} + 9 \sqrt{67} = 9 (\sqrt{3} + \sqrt{67})$

Po dwukrotnym zwiększeniu wysokości mamy $a = 6$ i $H = 16$ : $P_{p} = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ .

Wysokość ściany bocznej

$h^{2} = 16^{2} + \frac{1}{12} \cdot 6^{2} = 256 + 3 = 259$

$h = \sqrt{259}$

$P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{259} = 9 \sqrt{259}$

Wówczas pole powierzchni ostrosłupa: $P = P_{p} + P_{b} = 9 \sqrt{3} + 9 \sqrt{259} = 9 (\sqrt{3} + \sqrt{259})$ .

Zatem, gdy wysokość zwiększyła się dwukrotnie, pole powierzchni ostrosłupa wzrosło prawie dwa razy.

Wniosek: większy wpływ na zmianę pola powierzchni ostrosłupa ma zmiana długości krawędzi podstawy niż zmiana długości wysokości ostrosłupa.

Przeczytaj

Sprawdź się