Ważną inicjatywą związaną z postacią Banacha była tzw. lwowska szkoła matematyczna. Poza Stanisławem Banachem oraz Hugo Steinhausem jej czołowymi przedstawicielami byli także Stanisław Mazur – twórca podwalin ogólnej teorii przestrzeni liniowo - topologicznych oraz Stanisław Ulam – współtwórca amerykańskiej bomby termojądrowej, a także metody Monte Carlo. Członkowie lwowskiej szkoły matematycznej często spotykali się w położonej w centrum miasta Kawiarni Szkockiej, gdzie często rozwiązywali problemy matematyczne, pisząc ołówkiem po blatach stołów. W 1935 roku żona Banacha kupiła duży zeszyt w twardej oprawie, aby matematycy mogli w nim umieszczać problemy wymagające rozwiązania. Tak powstała Księga Szkocka. Wraz z opisem problemów, często pojawiały się również oferty nagród za ich rozwiązanie. Łącznie w księdze zapisano 193 problemy, spośród których wiele nie posiada rozwiązania do dzisiaj.