Choć niektóre fraktale wydają się bardzo skomplikowane, ich konstrukcję można opisać w dość prosty sposób dzięki funkcjom IFSIFSIFS. Przyjrzyjmy się bliżej dwóm przykładom takich fraktali.

Smok Heighwaya

Z historią tego fraktala związanych jest wiele nazwisk. Pracowali nad nim naukowcy z NASA:  John Heighway, Bruce Banks i William Harter, a opisany i spopularyzowany zastał przez Martina Gardnera w roku 1967. Był także przedmiotem badań Chandlera Davisa oraz Donalda Knutha (znanego z algorytmu Knutha-Morrisa‑Pratta), którzy odkryli wiele jego cech.

Generowanie tego fraktala opiera się na wykorzystaniu dwóch par funkcji, zgodnie z którymi obliczamy współrzędne kolejnych punktów. Te pary funkcji to:

Funkcji tych należy użyć w sposób losowy w równych proporcjach. Jest to metoda Monte Carlometoda Monte CarloMonte Carlo, polegająca na losowaniu dostatecznej liczby danych w taki sposób, że po ich zestawieniu otrzymujemy pewne przybliżenie modelowanego zjawiska. Punktem startowym jest punkt $(0,0)$.

Każdy wygenerowany w ten sposób punkt rysujemy w układzie współrzędnych – kształt, który otrzymamy, jest nazywany smokiem Heighwaya. Im więcej punktów wygenerujemy, tym dokładniejszy będzie uzyskany kształt.

Wszystkie przedstawione kroki możemy zapisać za pomocą następującego pseudokodu:

// punkt startowy
x = 0,0
y = 0,0

// liczba generowanych punktów
n = 10000

dla i = 0, 1, 2 ... n - 1 wykonuj:
	// kopia zmiennej x
	x0 = x
    
    g = losuj liczbę z [0, 1]
    
    jeżeli g == 0 wykonaj:
        x = 0,5 * x - 0,5 * y
        y = 0,5 * x0 + 0,5 * y
    w przeciwnym razie wykonaj:
        x = - 0,5 * x - 0,5 * y + 1
        y = 0,5 * x0 - 0,5 * y
    
    rysuj punkt (x, y)

Zwróćmy uwagę na fakt, że potrzebna jest nam kopia zmiennych x, aby podczas generowania zmiennej y (w linijce 19.) nie użyć nowej wartości nadanej zmiennej x.

R10tWEZwGAvSA

Ilustracja przedstawia zakrzywioną linię, która tworzona jest na podstawie kwadratu, ale nigdy go nie zamyka, jedynie przechodzi przez 4 rogi, tak aby następnie przejść do następnego fragmentu. W ten sposób tworzona wypełnia przestrzeń.

Paproć Barnsleya

Odkrywcą tego fraktala jest Michael Barnsley, który opisał go w książce Fractals Everywhere. Publikacja ta stanowi obszerne kompendium wiedzy na temat fraktali, szczególnie jednak traktuje o generowaniu fraktali z wykorzystaniem funkcji IFS. Autor przedstawił w niej też smoka Heighwaya.

Stworzona przez Barnsleya definicja paproci opiera się na czterech przekształceniach afinicznych. Ponieważ jednak posługiwał się on skomplikowaną terminologią matematyczną (związaną z rachunkiem macierzy, funkcjami wielu zmiennych, liczbami zespolonymi oraz krzywymi hiperbolicznymi), przedstawiony przez nas sposób generowania paproci Barnsleya nie jest oryginalnym zapisem stosowanym przez autora.

Podobnie jak miało to miejsce w przypadku smoka Heighwaya, generowanie tego fraktala opiera się na wykorzystaniu pewnej liczby par funkcji, które należy stosować losowo w określonych proporcjach. W tym wypadku mamy cztery pary funkcji:

Funkcji tych należy użyć losowo według następujących proporcji:

Punktem startowym jest punkt $(0,0)$.

Pseudokod, którym posłużymy się podczas pisania programu generującego paproć Barnsleya, może wyglądać następująco:

// punkt startowy
x = 0.0
y = 0.0

// liczba generowanych punktów
n = 10000

dla i = 0, 1, 2 ... n-1 wykonuj:
	// kopia zmiennej x
	x0 = x
    
    g = losuj liczbę z [0, 1, ..., 99]
    
    jeżeli q < 1 wykonaj:
    	x = 0;
    	y = 0.16 * y;
    w przeciwnym razie jeżeli q < 86 wykonaj:
    	x = 0.85 * x + 0.04 * y;
    	y = -0.04 * x0 + 0.85 * y + 1.6;
    w przeciwnym razie jeżeli q < 93 wykonaj:
    	x = 0.2 * x - 0.26 * y;
    	y = 0.23 * x0 + 0.22 * y + 1.6;
    w przeciwnym razie wykonaj:
    	x = -0.15 * x + 0.28 * y;
    	y = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44;
    
    rysuj punkt (x, y)

W wyniku tworzenia paproci Barnsleya według pseudokodu możemy uzyskać na przykład taki kształt:

R18GjGseEJBIv

Ilustracja przedstwia liść paproci, którego każdy mniejszy listek to kolejny liść paproci, jedynie mniejszy. Liść zakrzywia się w prawo.

Słownik