Draw any acute angleangleangle and construct the bisector of this angle.

Mark 4 points on the bisector. Investigate at what distance from sides of the angleangleangle each of the points lies. What do you notice?

Open the applet. Change the position of vertexvertexvertex of the triangletriangletriangle and observe the intersection pointpointpoint of the angle bisectors of the triangle.

R1ZUvJP47YmYm1

Geogebra aplet - Przeciągając jeden z wierzchołków, zmieniamy trójkąt, a dwusieczne zawsze przecinają się w jednym punkcie. . Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Przeciągając jeden z wierzchołków, zmieniamy trójkąt, a dwusieczne zawsze przecinają się w jednym punkcie. . Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D163l7Ad3

R1PsvMQm3T2Jz1

Rysunek przedstawia trójkąt ostrokątny i dwusieczne jego kątów. Dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Punkt ich przecięcia leży wewnątrz trójkąta.

R12b74ggGDf1Z1

Rysunek przedstawia trójkąt rozwartokątny i dwusieczne jego kątów. Dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Punkt ich przecięcia leży wewnątrz trójkąta.

Decide whether:

1. the angle bisectors of the triangle intersect at one pointpointpoint,

2. the point of intersection is inside the triangletriangletriangle,

3. the pointpointpoint of intersection is equidistant from the sides of the triangle.

In the ABC triangletriangletriangle, the bisector of the ABC angleangleangle has been drawn. This angle bisectorangle bisectorangle bisector intersects the AB sidesideside of the triangle at pointpointpoint D. Find  $\frac{\left|\begin{array}{c}AD\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}DB\end{array}\right|}$ .

A hint:

Note that the ADC and BDC triangles share the altitude from the vertex C. The altitudes of these triangles from vertexvertexvertex D are equal (the property of the angle bisectorangle bisectorangle bisector, i.e. pointpointpoint D is equidistant from the sides of these triangles). Using the formula for the areaareaarea of the triangletriangletriangle, show that $\frac{\left|\begin{array}{c}AD\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}DB\end{array}\right|}=\frac{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}AC\end{array}\right|}}{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}BC\end{array}\right|}}$.

- In an isosceles triangletriangletriangle, the bisectors of the base angles intersect at 150°. Find the measures of all angles in this triangle.

- The triangle with the sides 5, 7 and 10 is given. The bisector of one angleangleangle has divided the longest sidesideside into two segments. Find the lengths of these segments.

- The angle bisectorangle bisectorangle bisector divides the opposite sidesideside of the triangle into segments of the following lengths: 5 and 6. The perimeterperimeterperimeter of the triangletriangletriangle is 33. Find the lengths of the other two sides.

An extra task:

The angle bisectorangle bisectorangle bisector divides the opposite sidesideside of the triangle into segments of the following lengths: 3 and 6. Derive the formula for the perimeterperimeterperimeter of the triangle knowing the length of one of its sides. Is there a triangletriangletriangle that meets this condition which has the perimeterperimeterperimeter equal to 16 cm?

A hint:

Remember that the inequality of the triangletriangletriangle should be satisfied.

Find the length of the bisector of the right angle in the right triangle with side lengths of 3 cm, 4 cm, 5 cm.

The angle bisector theorem can be proved using the similarity of triangles. The ABC triangle is given and the bisector of the ACB angle intersects side AB at point D. Analyze the drawing below and show that $\frac{\left|\begin{array}{c}AD\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}DB\end{array}\right|}=\frac{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}AC\end{array}\right|}}{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}BC\end{array}\right|}}$. Describe the proof for this theorem in English. 

R16g0trSofkGi1

Rysunek przedstawia trójkąt ABC. Narysowana jest prosta przechodząca przez wierzchołek A, równoległa do boku BC. Narysowana jest prosta dzieląca kąt przy wierzchołku C na dwa równe kąty. Prosta ta przecina bok AB w punkcie D oraz pierwszą prostą w punkcie E.