Temat

Dwusieczne kątów w trójkącie

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Usystematyzowanie wiadomości o własnościach dwusiecznej kąta.

2. Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie do rozwiązywania zadań.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje własności dwusiecznej kąta do rozwiązywania zadań,

- wykorzystuje twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że w czasie zajęć usystematyzują wiadomości na temat dwusiecznych kątów oraz poznają twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.

Uczniowie przypominają definicję dwusiecznej kąta.

Definicja - dwusieczna kąta.

- Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek kąta i która dzieli dany kąt na dwa równe kąty.

Uczniowie pracują w parach. Przypominają kolejne kroki konstrukcji dwusiecznej kąta i najważniejsze własności dwusiecznej.

Polecenie
Narysuj dowolny kąt ostry. Skonstruuj dwusieczną tego kąta.

Twierdzenie o punktach leżących na dwusiecznej.

- Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jego odległości od obu ramion kąta są równe.
Dwusieczna jest miejscem geometrycznym punktów równooddalonych od ramion kąta.

[Ilustracja 1]

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Poznają własności punktu przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.

Polecenia
Otwórz aplet. Obserwuj, jak zmienia się położenie punktu przecięcia się dwusiecznych, w zależności od położenia wierzchołków trójkąta.

[Geogebra aplet]

Zwróć uwagę, czy:
1. dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie,
2. punkt przecięcia leży wewnątrz trójkąta,
3. punkt przecięcia jest równooddalony od boków trójkąta.

Wnioski:

- Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Uczniowie pracują w parach, odkrywają własność dwusiecznej w trójkącie.

Polecenie
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną kąta ABC. Ta dwusieczna przecina bok AB w punkcie D. Oblicz $\frac{\left|\begin{array}{c}AD\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}DB\end{array}\right|}$.

Wskazówka:
Zauważ, że trójkąty ADC i BDC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka C. Wysokości tych trójkątów poprowadzone z wierzchołka D są równe (z własności dwusiecznej). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta pokaż, że $\frac{\left|\begin{array}{c}AD\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}DB\end{array}\right|}=\frac{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}AC\end{array}\right|}}{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}BC\end{array}\right|}}$.

Podsumowaniem pracy jest sformułowanie następującego twierdzenia.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.

- Dwusieczna kąta trójkąta dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków przyległych.

Uczniowie pracują indywidualne rozwiązując zadania wykorzystujące własności dwusiecznych kątów. Następnie rozwiązania są dyskutowane na forum klasy.

Polecenia
- W trójkącie równoramiennym dwusieczne kątów przy podstawie przecinają się pod kątem 150°. Znajdź miary kątów tego trójkąta.
- Dany jest trójkąt o bokach długości  5, 7, 10. Dwusieczna jednego z kątów podzieliła najdłuższy bok na dwa odcinki. Znajdź długości tych odcinków.
- Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki długości 5 cm i 6 cm. Obwód tego trójkąta wynosi 33 cm. Znajdź długości pozostałych boków tego trójkąta.

Polecenie dla chętnych:
W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC dzieli bok BC na odcinki o długości 3 cm i 6 cm. Wyznacz wzór na obwód tego trójkąta w zależności od długości jednego z boków. Czy istnieje trójkąt spełniający warunki zadania o obwodzie równym 16 cm?

Wskazówka:
Pamiętaj, aby była spełniona nierówność trójkąta.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze definicje i zależności do zapamiętania.

- Dwusieczna dzieli kąt na dwa równe kąty.

- Dwusieczna kąta jest miejscem geometrycznym punktów równoodległych od ramion kąta.

- Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

- Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych.