Stożek
Definicja: Stożek

Stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

R2SXmV1kX3TGc11
Aplet przedstawia po prawej stronie proces powstawania bryły obrotowej jaką jest stożek. Na początku pokazany jest trójkąt prostokątny, którego podstawa jest krótsza od wysokości. W wysokości zawarta jest przerywana oś obrotu. Opisany trójkąt jest obracany w kierunku wskazówek zegara wokół osi obrotu. Po zakończeniu pełnego obrotu powstaje wcześniej wspomniany stożek, którego podstawą jest koło, które zostało zakreślone przez promień długości podstawy. Promień oznaczamy literą r, wysokość całego stożka jest równa wysokości obracanego trójkąta i oznaczana jest wysokością H. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest oznaczana literką l. Po lewej stronie mamy prostokąt z treścią, która podsumowuje powstanie stożka, czyli że stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
R1XHSSuOQn2x611
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opiszemy teraz najważniejsze elementy budowy stożka.

Osią obrotu stożka jest prosta przechodząca przez środek podstawy, czyli koło, oraz wierzchołek stożka. Wierzchołek stożka jest to najwyższy punkt w stożku.

Podstawą stożka jest koło powstałe poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi obrotu.  Promień podstawy stożka jest równoważny promieniu koła w podstawie. Jego długość jest równa podstawie trójkąta prostokątnego. Średnica stożka to średnica koła w podstawie.

Tworzącą stożka jest każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na krawędzi podstawy.

Wysokość stożka to punkt, w którym przecinają się wszystkie tworzące stożka.

Powierzchnia boczna stożka to część powierzchni bryły bez podstawy.

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego podstawą jest średnica koła w podstawie, a ramiona są długości tworzącej stożka. Kąt rozwarcia stożka to kąt pomiędzy ramionami w przekroju osiowym.

Kąt pomiędzy tworzącą stożka a średnicą podstawy nazywamy kątem nachylenia tworzącej stożka do powierzchni podstawy.

RzxVhetqKZrDH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
  • Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

Pc=πr2+πrl=πrr+l.
  • Objętość stożka jest równa:

V=13πr2H.

Siatka stożka

R1WqKQ9hUnuUW1
Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.

Siatka stożka

RxNRDivwC7nHl1
Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

Stożek jest trójwymiarową bryłą przypominającą szpiczastą czapeczkę. Składa się z podstawy, która jest pewnym okręgiem oraz z powierzchni bocznej. Stożek możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z koła oraz odpowiedniego wycinka koła. Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie zawsze koło i wycinek koła będą tworzyć siatkę ostrosłupa. Przykład konstrukcji siatki przedstawimy poniżej.
1. Weźmy koło, które stanowi podstawę stożka. Do jego krawędzi przylega wycinek koła w taki sposób, że wycinek styka się z okręgiem swoim łukiem. Długość łuku wycinka jest taka sama jak obwód koła, które znajduje się w podstawie ostrosłupa.

1
Przykład 1

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 cm9 cm obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego w ten sposób stożka.

RMBiE0IpfWOVq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 cm9 cm obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego w ten sposób stożka.

Rozwiązanie:

Z podanej treści zadania wynika, że H=9 cm oraz promień  r=4 cm.

Korzystając ze wzoru na objętość stożka, otrzymujemy, że

V=13·π·r2·H=13·π·16·9=48π (cm3).

Aby wyznaczyć pole powierzchni całkowitej, musimy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, po to, by wyznaczyć długość tworzącej. Zatem

  42+92=l2, czyli l=97cm.

Pole powierzchni całkowitej jest równe

Pc=πr(r+l)=π·4·(4+97)=4π·(4+97) (cm2).

1
Przykład 2

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

RSshfbjZp2Dwz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Przyprostokątne trójkąta są jednocześnie tworzącymi stożka. Wynika z tego, że przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym. Przeciwprostokątna jest równa średnicy podstawy stożka.

Zatem  8=2r, czyli r=4 cm .

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego wiadomo, że

H=r=4 cm oraz l=r2=42 cm.

Objętość walca jest równa

V=13·π·r2·H=13·π·16·4=643π (cm3),

a pole powierzchni bocznej

Pb=πrl=π·4·42 =162π (cm2).

1
Przykład 3

Pole podstawy stożka jest równe 48π cm2, a jego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tgα=47. Oblicz objętość stożka.

RlTX9jn3pocP51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole podstawy stożka jest równe 48π cm2, a jego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tgα=47. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiadomo, że Pp=48π cm2, czyli πr2=48π, zatem r=43 (cm).

Tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Powstaje zatem trójkąt prostokątny, którego podstawa jest równa długości promienia koła w podstawie, wysokość trójkąta jest równa wysokości stożka, a przeciwprostokątna jest tworzącą stożka. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy, że

tgα=Hr, czyli 47=H43.

Wynika z tego, że  H=1637 (cm).

Obliczmy objętość stożka

V=13·π·r2·H=13·π·48·1637=768321π (cm3).

1
Przykład 4

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła stanowiącym 23 koła o promieniu 9 cm.

RVoK85eA9eWfj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła stanowiącym 23 koła o promieniu 9 cm.

Rozwiązanie:

Zaczniemy rozwiązywanie zadania od wyznaczenia długości promienia podstawy. Wiadomo, że długość wycinka koła jest równa długości okręgu w podstawie. Zatem obliczymy długość wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka

Lw=23·π·2r=23·18π=12π (cm).

Przejdźmy teraz do wyznaczenia promienia podstawy, czyli 2πr=12π, a stąd wynika, że r=6 (cm).

Zauważmy, że długość promienia wycinka koła jest równa tworzącej stożka. Powstaje zatem trójkąt prostokątny wewnątrz stożka, którego podstawa jest równa długości promienia podstawy, wysokość trójkąta jest równa wysokości stożka oraz tworząca stożka jest jego przeciwprostokątną. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć H :

92=62+H2, czyli H=45=35 (cm).

Objętość stożka jest równa

V=13·π·r2·H=13·π·62·35=36π5 (cm3).

R50Dec1erXMVR1
Ćwiczenie 1
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu 483 dm2. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka. Możliwe odpowiedzi: 1. Pb=96π dm2, V=192π dm3, 2. Pb=94π dm2, V=198π dm3, 3. Pb=98π dm2, V=196π dm3, 4. Pb=92π dm2, V=194π dm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmTjTa3H5fwTL1
Ćwiczenie 2
Trójkąt o przeciwprostokątnej długości 83 cm obrócono wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Kąt rozwarcia otrzymanego w ten sposób stożka jest równy 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka. Możliwe odpowiedzi: 1. V=192π cm3, Pc=144π cm2, 2. V=194π cm3, Pc=148π cm2, 3. V=196π cm3, Pc=142π cm2, 4. V=190π cm3, Pc=140π cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReQH8smxQDXdf1
Ćwiczenie 3
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem o promieniu 14 cm. Oblicz objętość stożka. Możliwe odpowiedzi: 1. V=34333π cm3, 2. V=33424π cm3, 3. V=34323π cm3, 4. V=33434π cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RQPpq5PzcePCD1
Ćwiczenie 4
Koło o średnicy 24 cm podzielono na dwa wycinki koła w ten sposób, że jeden z nich stanowi 15 pola powierzchni drugiego. Z obu wycinków utworzono powierzchnie boczne stożków. Niech V1 oznacza objętość stożka utworzonego z większego wycinka, V2 - objętość stożka utworzonego z mniejszego wycinka. Wyznacz stosunek V1V2. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Stosunek V1V2= 1. 53587, 2. 53555, 3. 55835, 4. 53857.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19uSpl1klGNz2
Ćwiczenie 5
Podstawą stożka jest koło o polu 12π cm2. Pole powierzchni bocznej jest 2 razy większe od pola podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. sinα=32, 2. sinα=54, 3. sinα=52, 4. sinα=34
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Walec i stożek mają równe promienie podstawy r i wysokości H. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej stożka.

RarQKWSpl0aqq
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Gbv3fo9ZTI41
Ćwiczenie 7
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm4 cm obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość otrzymanej w ten sposób bryły. Możliwe odpowiedzi: 1. V=485π cm3, 2. V=427π cm3, 3. V=445π cm3, 4. V=4610π cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rq9bQGAwDCTwX2
Ćwiczenie 8
Stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 8 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, przechodzącą przez środek wysokości stożka. Oblicz stosunek objętości brył, na jakie został podzielony stożek. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Stosunek objętości wynosi 1. 16, 2. 15, 3. 17, 4. 18.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 9

Oblicz długość H wysokości stożka, objętość V oraz pole powierzchni całkowitej Pc.

RrQ5QHpeUt0du
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R95sTaW5uoWie
Przeciągnij odpowiednie liczby. H= 1. 3, 2. 18, 3. 5, 4. 43, 5. 65, 6. 12, 7. 83, 8. 5, 9. 4, 10. 2, 11. 11, 12. 4, 13. 123, 14. 3, 15. 10 1. 3, 2. 18, 3. 5, 4. 43, 5. 65, 6. 12, 7. 83, 8. 5, 9. 4, 10. 2, 11. 11, 12. 4, 13. 123, 14. 3, 15. 10
V= 1. 3, 2. 18, 3. 5, 4. 43, 5. 65, 6. 12, 7. 83, 8. 5, 9. 4, 10. 2, 11. 11, 12. 4, 13. 123, 14. 3, 15. 10 1. 3, 2. 18, 3. 5, 4. 43, 5. 65, 6. 12, 7. 83, 8. 5, 9. 4, 10. 2, 11. 11, 12. 4, 13. 123, 14. 3, 15. 10 π
Pc= 1. 3, 2. 18, 3. 5, 4. 43, 5. 65, 6. 12, 7. 83, 8. 5, 9. 4, 10. 2, 11. 11, 12. 4, 13. 123, 14. 3, 15. 10 π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROa0bHuLqtHjv3
Jeżeli promień podstawy stożka jest równy 2 oraz tworząca jest długości 4, to wysokość, pole całkowite oraz objętość stożka jest równa? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. H=23, Pc=12π oraz V=835π, 2. H=63, Pc=144π oraz V=835π, 3. H=23, Pc=12π oraz V=875π, 4.  H=2, Pc=12π oraz V=833π
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 10
RI9G71VD2XAnv
Długość promienia podstawy i długość wysokości najmniejszego ze stożków wynosi 1cm, a każdy kolejny stożek ma długość promienia podstawy i długość wysokości o 1cm większą.

Przeciągnij i upuść objętości stożków.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1a8T92Kk7a5W3
Połącz wymiary stożka z jego objętością. element 1 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 4 prawy, 5. element 5 prawy element 2 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 4 prawy, 5. element 5 prawy element 3 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 4 prawy, 5. element 5 prawy element 4 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 4 prawy, 5. element 5 prawy element 5 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 4 prawy, 5. element 5 prawy
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.