Bryły obrotowe - stożek

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $4 \mathrm{cm}$ i $9 \mathrm{cm}$ obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego w ten sposób stożka.

Rozwiązanie:

Z podanej treści zadania wynika, że $H=9 cm$ oraz promień $r=4 cm$.

Korzystając ze wzoru na objętość stożka, otrzymujemy, że

$V=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·H=\frac{1}{3}·\pi ·16·9=48\pi \left(c{m}^3\right)$.

Aby wyznaczyć pole powierzchni całkowitej, musimy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, po to, by wyznaczyć długość tworzącej. Zatem

$4^2+9^2=l^2$, czyli $l=\sqrt{97}cm$.

Pole powierzchni całkowitej jest równe

$P_c=\pi r(r+l)=\pi ·4·(4+\sqrt{97})=4\pi ·(4+\sqrt{97}) \left(c{m}^2\right)$.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa $8 \mathrm{cm}$. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Przyprostokątne trójkąta są jednocześnie tworzącymi stożka. Wynika z tego, że przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym. Przeciwprostokątna jest równa średnicy podstawy stożka.

Zatem $8=2r$, czyli $r=4 cm$ .

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego wiadomo, że

$H=r=4 cm$ oraz $l=r\sqrt{2}=4\sqrt{2} cm$.

Objętość walca jest równa

$V=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·H=\frac{1}{3}·\pi ·16·4=\frac{64}{3}\pi \left(c{m}^3\right)$,

a pole powierzchni bocznej

$P_b=\pi rl=\pi ·4·4\sqrt{2 }=16\sqrt{2}\pi \left(c{m}^2\right)$.

Pole podstawy stożka jest równe $48\pi {\mathrm{cm}}^2$, a jego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{7}$. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiadomo, że $P_p=48\pi {\mathrm{cm}}^2$, czyli $\pi r^2=48\pi$, zatem $r=4\sqrt{3} \left(cm\right)$.

Tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$. Powstaje zatem trójkąt prostokątny, którego podstawa jest równa długości promienia koła w podstawie, wysokość trójkąta jest równa wysokości stożka, a przeciwprostokątna jest tworzącą stożka. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy, że

$\mathrm{t}g\alpha =\frac{H}{r}$, czyli $\frac{4}{7}=\frac{H}{4\sqrt{3}}$.

Wynika z tego, że $H=\frac{16\sqrt{3}}{7} \left(cm\right)$.

Obliczmy objętość stożka

$V=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·H=\frac{1}{3}·\pi ·48·\frac{16\sqrt{3}}{7}=\frac{768\sqrt{3}}{21}\pi \left(c{m}^3\right)$.

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła stanowiącym $\frac{2}{3}$ koła o promieniu $9 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie:

Zaczniemy rozwiązywanie zadania od wyznaczenia długości promienia podstawy. Wiadomo, że długość wycinka koła jest równa długości okręgu w podstawie. Zatem obliczymy długość wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka

$L_w=\frac{2}{3}·\pi ·2r=\frac{2}{3}·18\pi =12\pi \left(cm\right)$.

Przejdźmy teraz do wyznaczenia promienia podstawy, czyli $2\pi r=12\pi$, a stąd wynika, że $r=6 \left(cm\right)$.

Zauważmy, że długość promienia wycinka koła jest równa tworzącej stożka. Powstaje zatem trójkąt prostokątny wewnątrz stożka, którego podstawa jest równa długości promienia podstawy, wysokość trójkąta jest równa wysokości stożka oraz tworząca stożka jest jego przeciwprostokątną. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć $H$ :

$9^2=6^2+H^2$, czyli $H=\sqrt{45}=3\sqrt{5} \left(cm\right)$.

Objętość stożka jest równa

$V=\frac{1}{3}·\pi ·r^2·H=\frac{1}{3}·\pi ·6^2·3\sqrt{5}=36\pi \sqrt{5} \left(c{m}^3\right)$.