Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Materiał ten poświęcony jest sumie wyrazów ciągu arytmetycznego. Analizując zawarte tu przykłady, dowiesz się w jaki sposób stosować twierdzenie o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego do rozwiązywania różnego rodzaju zadań.

Ważne!

Symbolem Sn oznaczamy sumę n początkowych wyrazów ciągu an, czyli

Sn=a1+a2++an.
Przykład 1
RL2eFzX5Zqw0V1
Animacja ilustruje sumę S z indeksem dolnym n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego a z indeksem dolnym n. Suma S z indeksem dolnym n początkowych n = ułamek w liczniku a z indeksem dolnym jeden plus a z indeksem dolnym n mianownik 2 koniec ułamka razy n.
o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego an jest równa Sn=2a1+n-1r2·n=a1+an2·n.

Przykład 2

Oblicz sumę 1+2+3+...+100.

Sumowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1=1 oraz a100=100. Mamy więc

S100=1+1002·100=5050.
Przykład 3

Oblicz sumę stu początkowych liczb naturalnych, które podzielone przez 3 dają resztę 2.

Pierwszą liczbą naturalną, która podzielona przez 3 daje resztę 2 jest 2, drugą 5, trzecią 8. Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S100=2a1+99r2·100=2·2+99·32·100=15050.
Przykład 4

Rozwiąż równanie 3+7+11++4n-1=595 z niewiadomą n.

Liczby, które sumujemy po lewej stronie równania, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1=3, różnicy r=4. Suma ta składa się z n wyrazów.

Ponieważ n jest liczbą wyrazów, więc jest liczbą całkowitą dodatnią. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

Sn=2·3+n-142·n=3n+2nn-1=2n2+n.

Z treści zadania wynika, że

2n2+n=595.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe 2n2+n-595=0, które ma dwa rozwiązania n1=-17,5 oraz n2=17. Tylko druga z liczb jest całkowita dodatnia. Zatem rozwiązaniem równania jest liczba 17.

Przykład 5

Liczby 9, 5, 1 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego an. Oblicz sumę a10+a11+a12++a30.

Pierwszy wyraz ciągu an jest równy a1=9, a różnica ciągu jest równa r=a2-a1=5-9=-4.

  • sposób I:

Zauważmy, że

a10+a11+a12++a30=a1+a2++a9+a10+a11+
+a12++a30-a1+a2++a9=S30-S9.

Ponieważ

S30=2a1+29r2·30=18-116·15=-1470

oraz

S9=2a1+8r2·9=18-322·9=-63,

więc

a10+a11+a12++a30=-1470+63=-1407.
  • sposób II:

Możemy zauważyć, że wyrazy a10, a11, a12, ..., a30, które mamy zsumować, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego bn, który składa się z 21 wyrazów i w którym

b1=a10=a1+9r=-27

oraz

b21=a30=a1+29r=-107.

Suma 21 początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa

S21=b1+b212·21=-27-1072·21=-1407.
2
Ćwiczenie 1

Korzystając z wykresu ciągu arytmetycznego, uzupełnij sumy wyrazów odpowiednimi wartościami.

RT4JwqPiwTGwd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZDCp6GWhzrj9
Dostępne opcje do wyboru: 28, -4, 4, 30, 24, 28, 10, 0, 10, 24, 30, 4, 18. Polecenie: Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.
  • S1= luka do uzupełnienia
  • S2= luka do uzupełnienia
  • S3= luka do uzupełnienia
  • S4= luka do uzupełnienia
  • S5= luka do uzupełnienia
  • S6= luka do uzupełnienia
  • S7= luka do uzupełnienia
1
Ćwiczenie 2
RIQnoRsNWgz3s
Suma kolejnych 100 liczb naturalnych jest równa 7250. Jakie to liczby? Pierwsza z nich to Tu uzupełnij, a ostatnia Tu uzupełnij.
1
Ćwiczenie 3
RAxxwGBo0Ud81
Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a n = 2 n - 7 dla n 1 jest równa 352 . Ciąg składa się z  22 wyrazów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym an=5-3n dla n 1 jest równa -2145. Ciąg składa się z  40 wyrazów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
2
Ćwiczenie 4
R1553koi1wpck
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3. Odpowiedź:
2
Ćwiczenie 5
Rmsvccci9DO7T
Długości kolejnych boków pewnego wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Najdłuższy bok wielokąta ma długość 28, a obwód wielokąta jest równy 93. Ile boków ma ten wielokąt?
1
Ćwiczenie 6
R1CG4839czRt5
Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego an jest równa Sn=3n2-13n2 dla każdego n1. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy 5 ., 2. Różnica tego ciągu jest równa 3 .
3
Ćwiczenie 7
R18decRA5ldzZ
Różnica pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 2, natomiast sumy n oraz n+2 jego początkowych wyrazów są równe Sn=176 oraz Sn+2=240. Oblicz n.
R73wVCKUXAty221
Ćwiczenie 8
Sumę pewnego ciągu arytmetycznego można zapisać wzorem: 2n2-12n. Oblicz wartość pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu. Połącz w pary przyporządkowując wyrazom ciągu odpowiednie wartości. a1 Możliwe odpowiedzi: 1. -6, 2. -10, 3. 2, 4. -2, 5. 6 a2 Możliwe odpowiedzi: 1. -6, 2. -10, 3. 2, 4. -2, 5. 6 a3 Możliwe odpowiedzi: 1. -6, 2. -10, 3. 2, 4. -2, 5. 6 a4 Możliwe odpowiedzi: 1. -6, 2. -10, 3. 2, 4. -2, 5. 6 a5 Możliwe odpowiedzi: 1. -6, 2. -10, 3. 2, 4. -2, 5. 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMY0q3CUaQk9g11
Ćwiczenie 9
Zaznacz poprawną odpowiedź. W ciągu arytmetycznym a1=5 oraz a30=9. Wtedy suma S30=a1+a2++a30 jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. 210 , 2. 225 , 3. 270 , 4. 1890
3
Ćwiczenie 10
RwgGdLrNV0YOZ
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które podzielone przez 5 dają resztę 2.
3
Ćwiczenie 11
RNZvktMWQhX7p
Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych. > >
3
Ćwiczenie 12
RNjTIwVFr6LDA
Dany jest ciąg arytmetyczny an, w którym a1=3 oraz r=4. Wyznacz największe n, dla którego Sn<80. >
3
Ćwiczenie 13
Rhsae3GhFJNlE
W pewnym ciągu arytmetycznym a9=11 oraz a14=1 znajdź sumę początkowych dwudziestu jeden wyrazów tego ciągu.
3
Ćwiczenie 14
ROv7gPtADP2cx
Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego wzór ogólny jest postaci an=2n-15. > > >
3
Ćwiczenie 15
R1FtIf96Gq8tV
Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa S15=135, a różnica tego ciągu jest równa r=3. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu szesnastego do wyrazu trzydziestego.
3
Ćwiczenie 16
RgQcQIGb3nGUL
Ile liczb trzeba wstawić między liczby -13 oraz 8, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma jest równa -25? > > >
3
Ćwiczenie 17

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym sumy ośmiu i trzynastu początkowych wyrazów są równe S8=-223, S13=612.

R1Nv3hHaOceJo
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 18
RLkyGsQakXnj4
Rozwiąż równanie 42·44·46· ·42n=0,25-30. Uzupełnij poniższe zdanie tak, aby było prawdziwe. Rozwiązaniem równania jest liczba Tu uzupełnij.
3
Ćwiczenie 19

Wykaż, że n+2n+3n++n2=n2n+12.

R1Ygrk9uApgZo
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 20
R10YpJfEk0GN4
Wyznacz sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego an, wiedząc, że a8+a10+a16+a18=20.
3
Ćwiczenie 21
RYInc150OG5gB
Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 0, oblicz sumę trzynastu pierwszych wyrazów tego ciągu. > >
3
Ćwiczenie 22

Wykaż, że 1002-992+982-972+962-952++42-32+22-12=5050.

R1MZyNtxT02NJ
(Uzupełnij).
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida