Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Kolejne liczby naturalne są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym różnica jest równa $1$. Oznaczmy pierwszą z szukanych liczb, a więc pierwszy wyraz tego ciągu przez $a_1$. Suma $100$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Z treści zadania wynika, że ta suma jest równa $7250$. Otrzymujemy zatem równanie

stąd $a_1=23$. Kolejne wyrazy tego ciągu są równe $a_2=24$, $a_3=25$, ..., $a_{100}=122$.

Fałsz: $a_1=5-3·1=2$, $a_{40}=5-3·40=-115$. Obliczamy szukaną sumę $S_{40}=\frac{a_1+a_{40}}{2}·40=\left(2-115\right)·20=-2260$.

Prawda: Sprawdzimy, czy suma $22$ początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem $a_n=2n-7$ jest równa $352$. Wykorzystując podany wzór, obliczamy $a_1=2·1-7=-5$, $a_{22}=2·22-7=37$. Zatem suma $22$ początkowych wyrazów ciągu jest równa

Mamy policzyć sumę $102+105+108+...+999$. Jest to suma ciągu arytmetycznego o różnicy $r=3$, pierwszym wyrazie $a_1=102$ i ostatnim wyrazie $a_n=999$.

Wyznaczmy liczbę wyrazów ciągu. Ponieważ $a_n=a_1+\left(n-1\right)r$, więc $999=102+3\left(n-1\right)$, stąd $n=300$. Poszukiwana suma jest równa

Niech $n$ oznacza liczbę boków wielokąta, którego boki, od najkrótszego do najdłuższego, mają długości: $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_n$.

Różnica ciągu $\left(a_n\right)$ jest równa $r=5$, ostatni wyraz jest równy $a_n=28$, natomiast suma wszystkich wyrazów, a więc obwód wielokąta, jest równa $S_n=93$. Mamy więc układ równań

Równanie $-5n^2+61n-186=0$ ma dwa rozwiązania $n_1=6,2$ oraz $n_2=6$.

Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n=6$.

• Piąty wyraz tego ciągu jest równy $5$.
  Zauważmy, że $a_5=S_5-S_4=\frac{3·25-13·5}{2}-\frac{3·16-13·4}{2}=5-\left(-2\right)=7$.

• Różnica tego ciągu jest równa $3$.
  Przekształcimy wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu $S_n=\frac{3n-13}{2}·n=\frac{3\left(n-1\right)-10}{2}·n=\frac{2·\left(-5\right)+3\left(n-1\right)}{2}·n$, stąd otrzymujemy $a_1=-5$ oraz $r=3$.

Zauważmy, że $S_{n+2}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+1}+r=2a_{n+1}+r$.

Z danych z zadania mamy

stąd $a_{n+1}=31$, czyli $a_1+nr=31$. Stąd $a_1=31-2n$, gdyż $r=2$.

Ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy

Ponieważ $S_n=176$, więc otrzymujemy równanie $\left(30-n\right)·n=176$, czyli $n^2-30n+176=0$.

Równanie to ma dwa rozwiązania $n_1=8$ oraz $n_2=22$, które są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Mamy policzyć sumę $12+17+22+...+97$. Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=5$.

Zacznijmy od wyznaczenia liczby wyrazów tego ciągu. Ponieważ $a_n=97$, to ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy $a_1+\left(n-1\right)r=97$, czyli $12+\left(n-1\right)·5=97$.

Stąd $5n=90$, czyli $n=18$.

Suma $18$ początkowych wyrazów tego ciągu jest zatem równa $S_{18}=\frac{12+97}{2}·18=981$.

Mamy obliczyć sumę następujących liczb: $100$, $101$, $102$, $\cdots$, $999$. Jest to suma $900$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym $100$, ostatnim równym $999$. Zatem $S=\frac{100+999}{2}·900=494550$.

Suma $n$ początkowych wyrazów w danym ciągu arytmetycznym jest równa $S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)r}{2}·n=\frac{2·3+\left(n-1\right)·4}{2}·n$.

Ponieważ $S_n<80$, więc otrzymujemy nierówność $\frac{4n+2}{2}·n<80$, czyli $2n^2+n-80<0$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=2x^2+x-80$ jest parabola, której ramiona zwrócone są do góry.

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $x_1=\frac{-1-\sqrt{641}}{4}\approx -6,6$ oraz $x_2=\frac{-1+\sqrt{641}}{4}\approx 6,1$.

Zatem liczby całkowite dodatnie $n$, które spełniają tę nierówność, to: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.

Największą liczbą $n$, dla której $S_n<80$ jest $6$.

Obliczamy wyraz dziewiąty i czternasty ze wzoru na $n$–ty wyraz ciągu arytmetycznego. Otrzymujemy równania $a_9=a_1+8r=11$ oraz $a_{14}=a_1+13r=1$.

Odejmując stronami od drugiego równania pierwsze, otrzymujemy $5r=-10$, stąd $r=-2$. Stąd i z pierwszego równania $a_1=11-8·\left(-2\right)=27$.

Szukana suma jest równa

Z podanego wzoru obliczamy wyraz pierwszy i piętnasty $a_1=\frac{2·1-1}{5}=\frac{1}{5}$, $a_{15}=\frac{2·15-1}{5}=\frac{29}{5}$.

Szukana suma jest zatem równa $S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}·15=\frac{\frac{1}{5}+\frac{29}{5}}{2}·15=45$.

Zauważmy, że $a_{16}=a_1+15r$, $a_{17}=a_2+15r$, $a_{18}=a_3+15r$, ..., $a_{30}=a_{15}+15r$.

Zatem

Po wstawieniu $n-2$ liczb otrzymujemy $n$–wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym $a_1=-13$, $a_n=8$ oraz $S_n=-25$.

Ponieważ suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}·n$, otrzymujemy równanie $\frac{-13+8}{2}·n=-25$, stąd $n=10$.

Należy więc wstawić osiem wyrazów pomiędzy dane liczby.

Wykorzystaj wzór na sumę ciągu arytmetycznego, aby wyznaczyć sumy $S_8$ i $S_{13}$. Następnie zbuduj z otrzymanych równości układ równań.

Stosując dwukrotnie wzór na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy układ równań

Po dodaniu stronami otrzymujemy $-15r=-5$, czyli $r=\frac{1}{3}$. Stąd mamy $2a_1=1-4=-3$, więc $a_1=-\frac{3}{2}$.

Korzystając z własności iloczynu potęg o tej samej podstawie, zapisujemy lewą stronę rozważanego równania w postaci $4^{2+4+6+\dots +2n}$. Zauważmy, że $2+4+6+\dots +2n$ jest sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zatem

Prawa strona równania jest równa $0,{25}^{-30}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-30}=4^{30}$. Otrzymaliśmy więc $4^{\left(n+1\right)n}=4^{30}$. Równanie jest równoważne równaniu $\left(n+1\right)n=30$, czyli $n^2+n-30=0$. Równanie to ma dwa rozwiązania $n_1=-6$ oraz $n_2=5$. Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest dodatnią liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem równania jest $n=5$.

Zwróć uwagę na to, że lewa strona równania to suma $n$ wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego.

Zauważmy, że suma po lewej stronie równania jest sumą kolejnych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=n$ oraz $a_n=n^2$. Zatem suma

Zauważmy, że trzynasty wyraz ciągu jest środkowym wyrazem sumy $a_1+a_2+a_3+\dots +a_{25}$.

Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy

Stąd $a_1+a_{25}=a_8+a_{18}=a_{10}+a_{16}$.

Zatem $20=\left(a_8+a_{18}\right)+\left(a_{10}+a_{16}\right)=2\left(a_1+a_{25}\right)$, stąd

Szukana suma jest więc równa $S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}·25=5·25=125$.

Skorzystamy z własności ciągu arytmetycznego $a_n=\frac{a_{n+k}+a_{n-k}}{2}$ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k<n$.

Zatem $a_7=\frac{a_1+a_{13}}{2}$.

Ponieważ siódmy wyraz jest równy zero, więc $a_1+a_{13}=0$.

Suma trzynastu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem $S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}·13=\frac{0}{2}·13=0$.

Lewą stronę równania można zapisać w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Korzystając pięćdziesiąt razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, możemy lewą stronę równości zapisać w postaci

W ten sposób otrzymaliśmy sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-4$. Zatem suma ta jest równa