Circle inscribed in the right triangle

R1SI3r42jhkfA

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Learning objectives

You will learn the theorem concerning the radius of a circle inscribed in the right triangle.

Learning effect

You can apply the theorem about radius of a circle inscribed in the right triangle to solve problems.
You can describe the relationships in the right triangle in English.

RJrCrDRRu5rbA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Make sure you know the concept of a circle inscribed in the triangle and you can construct it. Recall the Pythagorean theorem and the theorem about the tangents to the circle.

Task 1

R1KYQF3SD6VCW1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Open Geogebra applet: „Circle inscribed in a right triangle”. Change the position of point A. Observe how, depending on the length of the radiusradiusradius, the lengths of the other color‑marked segments change.

Answer the following questions:

R6YizC2Bl4c3p1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Is the triangle PAR right? Why?
Is the quadrilateral SEAF square? Why?
Is it possible to determine the length of the hypotenusehypotenusehypotenuse depending on the length of the other sides of triangle and the radiusradiusradius of the circle? How?

RncRSHcPGNVUv1

RWUguVX1abcOd1

Rysunek przedstawia półokrąg, w który wpisany jest trójkąt prostokątny PAR. Odcinek PR jest średnicą półokręgu, punkt A znajduje się na półokręgu. W trójkąt prostokątny wpisano okrąg o środku S. Zaznaczono punkty styczności E, F, G. Poprowadzono promienie SE i SF. Kolorami oznaczono równe jako odcinki styczne do okręgu: RF i RG, PE i PG, AE i AF. Można zaobserwować, że czworokąt AFSE jest kwadratem o boku równym promieniowi okręgu, a długość przeciwprostokątnej jest równa sumie przyprostokątnych pomniejszonej o długość dwóch promieni okręgu. Zmieniając położenie punktu A na półokręgu można upewnić się w prawdziwości tej zależności dla dowolnego trójkąta prostokątnego. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RLAqMMyXpEMez1

Conclusion:
There is a relationship between the radiusradiusradius of a circle inscribed in a right triangle and the length of its sides.

Derive the formula for the radiusradiusradius of a circle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right triangle.

R19qKZoripAHv1

Rysunek przedstawia okrąg o środku S i promieniu r wpisany w trójkąt prostokątny ABC, o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c. Poprowadzone są odcinki r od środka okręgu S, prostopadłe do boków trójkąta: SD - do boku b, SE do boku c, SF - do boku a. Zapisane są długości odcinków: CD równy r, DA równy b minus r, AE równy b minus r, EB równy a minus r, BF równy a minus r, FC równy r. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

The radius of a circle inscribed in the right triangle

Rule: The radius of a circle inscribed in the right triangle

The radius r of a circle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right triangle with the hypotenuse c and the other sides a and b equals:

r = \frac{a + b - c}{2}

Use this theorem to solve the following problems.

Task 2

RFCH7eqJW7hJU1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Find the radiusradiusradius of a circle inscribed in the right triangle whose legs are 9 cm and 12 cm.

Task 3

R17zDdGuCcfir1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The radius of a circle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right triangle is 2 cm. The point of tangencypoint of tangencypoint of tangency divides the hypotenusehypotenusehypotenuse in a ratio of 2 : 3. Calculate the perimeter of this triangle.

Task 4

Ru8RRU6Ynlgcd1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The square ABCD with side a is divided diagonally to two triangles ABC and CDA. A circle is inscribed in the triangle ABC. Find the radius of this circle.

Task 5

An extra task:

The area of the triangles with sides a, b, c is equal to:

P = p \cdot r

where:
$p = \frac{a + b + c}{2}$ ,
$r$ – the radius of a circle inscribed in this triangle.

Use this relationship and find the formula for the radius of a circle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right triangle.

Exercises

RBfiklLkilLBe

Exercise 1

Wersja alternatywna ćwiczenia: The right triangle with the hypotenuse

c

and the other sides

a

and

b

is given. Show that the area of this triangle can be described by following formula:

S = \frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4}

. For this proof the following formulas will be useful (select all useful formulas). Możliwe odpowiedzi: 1.

S = \frac{a + b + c}{2} \cdot r

, 2.

S = \frac{a \cdot b}{2}

, 3.

r = \frac{a + b + c}{2}

, 4. A short multiplication formula.

The right triangle with the hypotenuse $c$ and the other sides $a$ and $b$ is given. Show that the area of this triangle can be described by following formula: $S = \frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4}$ . For this proof the following formulas will be useful (select all useful formulas).

$S = \frac{a + b + c}{2} \cdot r$
$S = \frac{a \cdot b}{2}$
$r = \frac{a + b + c}{2}$
A short multiplication formula.

Exercise 2

A circle of the radius 2 is inscribed in an isosceles right triangle. Find the length of the side at the right angle of this triangle.

$a = 4 - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Exercise 3

Derive the formula for the radius of a circle inscribed in the right triangle ACB in different way, comparing the sum of the triangles BSA, BSC, CSA with the area of the triangle ABC.

Write down your line of reasoning in English.

The sides AC = b, BC = a and BA = c are all tangents to the circle and so they are perpendicular to the radii at the point they touch the circle (the point of tangency).

The radii are the altitudes in each of the following triangles: BSA, BSC, CSA,

Therefore:

$\frac{a \cdot b}{2} = \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{c \cdot r}{2} = \frac{r}{2} \cdot (a + b + c)$ .

Hence:

$r = \frac{a \cdot b}{a + b + c}$ .

Multiplying the right side of the equation by $\frac{a + b - c}{a + b - c}$ and using short multiplication formula we arrive at the following equation:
$r = \frac{a \cdot b \cdot (a + b - c)}{{(a + b)}^{2} - c^{2}} .$ .

What follows from the Pythagorean theorem is: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , and finally $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Exercise 4

RJk82GEReK5QZ

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

styczna do okręgu - tangent to the circle
punkt styczności - point of tangency
okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - circle inscribed in the right triangle
promień - radius
wzór skróconego mnożenia - area of triangle
przeciwprostokątna - short multiplication formula

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RWqnpDlGubpE61

Match Polish terms with their English equivalents.

promień
point of tangency
styczna do okręgu
circle inscribed in the right triangle
punkt styczności
tangent to the circle
wzór skróconego mnożenia
radius
okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
short multiplication formula

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

area of triangle

pole trójkąta

RjjC7nmLLb0641

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: area of triangle

circle inscribed in the right triangle

okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Rpa954MR0iHMX1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: circle inscribed in the right triangle

hypotenuse

przeciwprostokątna

Rs85nW4LtxMV61

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: hypotenuse

point of tangency

punkt styczności

R1UIbZGHW6r2r1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: point of tangency

radius

promień

RQcEdb5w3f5DM1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: radius

short multiplication formula

wzór skróconego mnożenia

RojnLH7pKKIBe1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: short multiplication formula

tangent to the circle

styczna do okręgu

R11TGsM6uLHCh1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: tangent to the circle

Keywords

circle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right trianglecircle inscribed in the right triangle – okrąg, który jest styczny do każdego boku trójkąta

point of tangencypoint of tangencypoint of tangency

radiusradiusradius

short multiplication formulashort multiplication formulashort multiplication formula

tangent to the circletangent to the circletangent to the circle – jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords