Temat

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Sformułowanie twierdzenia o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

2. Wykorzystanie własności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny do rozwiązywania zadań.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- formułuje twierdzenie o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny,

- wykorzystuje własności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny do rozwiązywania zadań.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji: twierdzenia Pitagorasa, twierdzenia o stycznych do okręgu, konstrukcji okręgu wpisanego w trójkąt.

Nauczyciel dzieli uczniów na małe grupy. Zadaniem każdej grupy będzie zebranie i uporządkowanie informacji związanych z jednym z powyższych pojęć.

Grupy prezentują i porządkują zebrane informacje.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualne lub w parach, korzystając z komputerów. Obserwują, jak zmienia się długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny”. Obserwuj jak w zależności od długości promienia zmieniają się długości innych zaznaczonych kolorami odcinków. Odpowiedz na następujące pytania:

1. Czy trójkąt PAR jest prostokątny? Dlaczego?.
2. Czy czworokąt SEAF jest kwadratem? Dlaczego?
3. Czy można wyznaczyć długość przeciwprostokątnej w zależności od długości przyprostokątnych i promienia okręgu? Jak?

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Istnieje zależność między długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny a długością jego boków.

Uczniowie wspólnie, pod kierunkiem nauczyciela odkrywają wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

[Ilustracja 1]

Po skończonej pracy, uczniowie formułują odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

- Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c jest równy:

Uczniowie indywidualnie rozwiązują zadania, które następnie wspólnie omawiają.

Polecenie
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 9 cm i 12 cm.

Polecenie
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 2 cm. Punkt styczności okręgu dzieli przeciwprostokątną w stosunku 2:3. Oblicz obwód tego trójkąta.

Polecenie
Kwadrat ABCD o boku a podzielono przekątną na dwa trójkąty ABC i CDA. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.

Polecenie dla chętnych:
Pole trójkąta o bokach długości a, b, c jest równe:

$P=p\cdot r$

gdzie:
$p=\frac{a+b+c}{2}$
$r$ – promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Korzystając z tej zależności, znajdź wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia zapisując sformułowane w czasie zajęć twierdzenie.

- Promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c jest równy: