Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Badanie monotoniczności ciągów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa II lub III, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach

a) $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=\mathrm{0,001}\\ a_n=a_n+\frac{1}{2}·a_n\left(1-a_n\right) \end{array}\right.$,

b) $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=1 \\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\end{array}\right.$;

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• określa monotoniczność danego ciągu

• ustala na podstawie wykresu czy ciąg jest rosnący, czy malejący

• określa wyraz ciągu, od którego dany ciąg jest monotoniczny

• udowadnia, że dany ciąg jest rosnący albo malejący

• dobiera argumenty do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemu

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• graffiti

• listwa usztywniająca

• burza mózgów

Formy pracy:

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

• kartony, mazaki

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie metodą graffiti powtarzają dotychczas zdobyte wiadomości o ciągach – na plakacie wcześniej przygotowanym przez nauczyciela, uzupełniają zapisy dotyczące ciągów. Po uzupełnieniu plakatu, jeden z uczniów odczytuje zapisane tam informacje. Uczniowie ewentualnie je uzupełniają.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach metodą listwy usztywniającej. Najpierw metodą burzy mózgów tworzą propozycje sposobów badania monotoniczności ciągów. Na „listwie” zapisują przykłady określania za pomocą podanych sposobów czy ciąg jest malejący lub rosnący.

2. Następnie zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj” i prezentacją multimedialną. Modyfikują swoje pomysły i dopisują następne.

3. Przedstawiciele grup prezentują wypracowane rozwiązania.

4. Wspólnie zapisują wzór ciągu i określają jego monotoniczność za pomocą wszystkich uzyskanych sposobów.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych.

Materiały pomocnicze:

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Wskazówki metodyczne:

Prezentację multimedialną można wykorzystać jako wstęp do zajęć poświęconych badaniu monotoniczności ciągu arytmetycznego, bądź geometrycznego.