Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1sPwjvjGfx0S1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = 4 \cdot 7^{n} - 3$ jest:

stały
rosnący
malejący
nierosnący

RY0AOOU1yMobB1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = {(- 1)}^{2 n + 4} \cdot \frac{n + 1}{n}$ :

jest stały
jest rosnący
jest malejący
nie jest monotoniczny

RWC9lmkdve7LB2

Ćwiczenie 3

Przeciągnij na odpowiednie pola wzory ciągów malejących oraz wzory ciągów rosnących.

Ciągi rosnące
Ciągi malejące

R1Ww0lV5BAnx721

Ćwiczenie 4

Łączenie par. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Ciąg

(a_{n})

jest rosnący, gdy dla każdej liczby naturalnej

n \in ℕ_{+}

spełniona jest nierówność

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeśli dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

spełniona jest nierówność

a_{n + 1} - a_{n} < 0

, to ciąg

(a_{n})

jest malejący.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeśli dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

spełniona jest nierówność

a_{n} > a_{n + 1}

, to ciąg

(a_{n})

jest rosnący.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciąg

(a_{n})

określony dla

n \in ℕ_{+}

jest rosnący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna

ℕ_{0}

, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq ℕ_{0}

spełniona jest nierówność

a_{n + 1} > a_{ℕ_{0}}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Ciąg $(a_{n})$ jest rosnący, gdy dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ .	□	□
Jeśli dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ , to ciąg $(a_{n})$ jest malejący.	□	□
Jeśli dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniona jest nierówność $a_{n} > a_{n + 1}$ , to ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.	□	□
Ciąg $(a_{n})$ określony dla $n \in ℕ_{+}$ jest rosnący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna $ℕ_{0}$ , że dla każdej liczby naturalnej $n \geq ℕ_{0}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$ .	□	□

Ru4MpSp42igt72

Ćwiczenie 5

Uzupełnij wzór ciągu, przeciągając takie wyrażenie, aby ciąg $(a_{n})$ był ciągiem stałym.

$n (1 - n)$ , $2$ , $- n^{2}$ , $2 (n - 1)$

$a_{n} = (1 + n) (n - 1) - \sqrt{n^{2} + 2 n + 1} +$

RaLsVvrO8WjFq2

Ćwiczenie 6

Poukładaj w odpowiedniej kolejności badanie monotoniczności ciągu

(a_{n})

określonego wzorem ogólnym

a_{n} = \frac{2 + 4 + 6 + . . . + 2 n}{n^{2}}

. Elementy do uszeregowania: 1. Wyrazy ciągu są dodatnie i dla każdej liczby naturalnej

n \in ℕ_{+}

spełniona jest nierówność

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

, zatem ciąg jest malejący., 2. Określimy znak ilorazu

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

., 3.

a_{n} = \frac{\frac{2 (1 + n)}{2} \cdot n}{n^{2}}

, 4. Zapiszemy wzór ciągu w najprostszej postaci

a_{n} = \frac{2 + 4 + 6 + . . . + 2 n}{n^{2}} = \frac{\frac{2 + 2 n}{2} \cdot n}{n^{2}}

, 5.

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{2 + n}{n + 1}}{\frac{1 + n}{n}} = \frac{2 + n}{n + 1} \cdot \frac{n}{n + 1}

, 6. Zauważmy najpierw, że

2 + 4 + 6 + . . . + 2 n = \frac{2 + 2 n}{2} \cdot n

, 7.

a_{n} = \frac{(1 + n) \cdot n}{n^{2}} = \frac{1 + n}{n}

, 8.

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n^{2} + 2 n}{n^{2} + 2 n + 1} < \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} + 2 n + 1}

, 9.

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < 1

Ćwiczenie 7

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \cos (n π)$ nie jest monotoniczny.

$a_{1} = \cos π = - 1$

$a_{2} = \cos (2 π) = 1$

$\cos (3 π) = - 1$

Zauważmy, że jeśli $n$ – liczba nieparzysta to $\cos (n π) = - 1$ , jeśli $n$ – liczba parzysta, to $\cos (n π) = 1$ .

Zatem $\cos (2 k π) = 1$ , $\cos ((2 k + 1) π) = - 1$ .

Ćwiczenie 8

Zbadaj monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{3^{n}}{n!}$ .

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{3^{n}} = \frac{3}{n + 1}$

$\frac{3}{n + 1} < 1$

$3 < n + 1$

$n > 2$

Dla $n > 2$ ciąg jest malejący.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela