Ciąg malejący od pewnego miejsca. Mówimy, że ciąg $\left(a_n\right)$ określony dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ jest malejący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna $n_0$, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge n_0$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_n<0$.
Przykład pierwszy. Zbadamy monotoniczność ciągu $\left(a_n\right)$ określonego dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ wzorem ogólnym $a_n=-0,2·{\left(n-5\right)}^2+6$. Rozwiązanie. Chcemy określić znak różnicy $a_{n+1}-a_n$. Zapisujemy więc następujące równanie.
$a_{n+1}-a_n=-0,2·{\left(n+1-5\right)}^2+6+0,2·{\left(n-5\right)}^2-6$
Redukujemy wyrazy podobne.
$a_{n+1}-a_n=-0,2·{\left(n-4\right)}^2+0,2·{\left(n-5\right)}^2$
Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
$a_{n+1}-a_n=0,2·\left(-n^2+8n-16+n^2-10n+25\right)$
Ponownie redukujemy wyrazy podobne.
$a_{n+1}-a_n=0,2·\left(-2n+9\right)$
Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu rosną. Zapisujemy następującą nierówność: $a_{n+1}-a_n>0$. Podstawiamy i przekształcamy nierówność.
$0,2·\left(-2n+9\right)>0$
Dzielimy obie strony nierówności.
$0,2·\left(-2n+9\right)>0 |:0,2$
$-2n>-9$
Ostatecznie mamy: $n<4,5$.
Wnioskujemy, że $a_1$ jest mniejsze od $a_2$ mniejsze od $a_3$ mniejsze od $a_4$.
Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu maleją. Zapisujemy następującą nierówność.
$a_{n+1}-a_n<0$
Podstawiamy i przekształcamy nierówność.
$0,2·\left(-2n+9\right)<0$
Dzielimy obie strony nierówności.
$0,2·\left(-2n+9\right)<0 |:0,2$
Stąd mamy: $-2n<-9$, zatem $n>4,5$. Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n co najmniej równej pięć wyrazy ciągu maleją. Ciąg jest malejący od pewnego miejsca. Interpretacja graficzna ciągu przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do jedenastu oraz z pionową osią $a_n$ od minus jeden do sześciu. Wyrazy ciągu przedstawiono jako punkty płaszczyzny o następujących współrzędnych: $\left(1;2,8\right)$, $\left(2;4,2\right)$, $\left(3;5,2\right)$, $\left(4;5,8\right)$, $\left(5;6\right)$, $\left(6;5,8\right)$, $\left(7;5,2\right)$, $\left(8;4,2\right)$, $\left(9;2,8\right)$, $\left(10;1\right)$, $\left(11;-1,2\right)$. Odpowiedź: Ciąg $\left(a_n\right)$ jest malejący dla $n\in \left\{5,6,7,\dots \right\}$.
Przykład drugi. Zbadamy monotoniczność ciągu $\left(b_n\right)$ określonego wzorem rekurencyjnym: $\left\{\begin{array}{l}{b}_0=1\\ b_1=1\\ b_{n+1}=\left(n+1\right)·b_n, \text{dla} n\ge 1\end{array}\right.$
Rozwiązanie. Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu. $b_0=1$, $b_1=1$, $b_2=2·1$, $b_3=3·2·1$, $b_4=4·3·2·1$, $b_5=5·4·3·2·1$.
Wnioskujemy, że każdy wyraz ciągu jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych. Zapisujemy: $b_n=n·\left(n-1\right)·\dots ·3·2·1$.
Zapisujemy wzór ciągu: $b_n=n!$.
Aby zbadać monotoniczność ciągu, określamy znak ilorazu $\frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Zapisujemy: $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(n+1\right)!}{n!}$.
Korzystamy z własności silni.
$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(n+1\right)n!}{n!}$
Po skróceniu wyrazów podobnych, otrzymujemy następujące równanie. $\frac{b_{n+1}}{b_n}=n+1$ Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większy lub równy jeden. Zapisujemy: $\frac{b_{n+1}}{b_n}>1$ dla $n>0$ oraz $\frac{b_{n+1}}{b_n}=1$ dla $n=0$. Odpowiedź: Ciąg $\left(b_n\right)$ jest niemalejący.