Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, w której przedstawiono sposób określania monotoniczności ciągu określonego wzorem rekurencyjnym i ciągu malejącego od pewnego miejsca.
R15Twe7qwAH5y
Ciąg malejący od pewnego miejsca. Mówimy, że ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego jest malejący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdej liczby naturalnej n, większy równy, n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego spełniona jest nierówność a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero. Przykład pierwszy. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego wzorem ogólnym a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć. Rozwiązanie. Chcemy określić znak różnicy a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego. Zapisujemy więc następujące równanie. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, plus, jeden, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć Redukujemy wyrazy podobne. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem n, minus, szesnaście, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć n, plus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu Ponownie redukujemy wyrazy podobne. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu rosną. Zapisujemy następującą nierówność: a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero. Podstawiamy i przekształcamy nierówność. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero Dzielimy obie strony nierówności. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa minus, dwa n, większy niż, minus, dziewięć Ostatecznie mamy: n, mniejszy niż, cztery przecinek pięć. Wnioskujemy, że a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest mniejsze od a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu maleją. Zapisujemy następującą nierówność. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero Podstawiamy i przekształcamy nierówność. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero Dzielimy obie strony nierówności. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa Stąd mamy: minus, dwa n, mniejszy niż, minus, dziewięć, zatem n, większy niż, cztery przecinek pięć. Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n co najmniej równej pięć wyrazy ciągu maleją. Ciąg jest malejący od pewnego miejsca. Interpretacja graficzna ciągu przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do jedenastu oraz z pionową osią a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego od minus jeden do sześciu. Wyrazy ciągu przedstawiono jako punkty płaszczyzny o następujących współrzędnych: nawias, jeden, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, siedem, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jedenaście, średnik, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu. Odpowiedź: Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest malejący dla n, należy do, nawias klamrowy, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, przecinek, wielokropek, zamknięcie nawiasu klamrowego. Przykład drugi. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego wzorem rekurencyjnym: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, przecinek, dla n, większy równy, jeden, koniec równania, koniec układu równań Rozwiązanie. Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu. b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden. Wnioskujemy, że każdy wyraz ciągu jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych. Zapisujemy: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, razy, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden. Zapisujemy wzór ciągu: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n silnia. Aby zbadać monotoniczność ciągu, określamy znak ilorazu początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka. Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka. Korzystamy z własności silni. początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, n silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka Po skróceniu wyrazów podobnych, otrzymujemy następujące równanie. początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, n, plus, jeden Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większy lub równy jeden. Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, większy niż, jeden dla n, większy niż, zero oraz początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, jeden dla n, równa się, zero. Odpowiedź: Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest niemalejący.
Ciąg malejący od pewnego miejsca. Mówimy, że ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego jest malejący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdej liczby naturalnej n, większy równy, n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego spełniona jest nierówność a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero. Przykład pierwszy. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego wzorem ogólnym a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć. Rozwiązanie. Chcemy określić znak różnicy a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego. Zapisujemy więc następujące równanie. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, plus, jeden, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć Redukujemy wyrazy podobne. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem n, minus, szesnaście, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć n, plus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu Ponownie redukujemy wyrazy podobne. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu rosną. Zapisujemy następującą nierówność: a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero. Podstawiamy i przekształcamy nierówność. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero Dzielimy obie strony nierówności. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa minus, dwa n, większy niż, minus, dziewięć Ostatecznie mamy: n, mniejszy niż, cztery przecinek pięć. Wnioskujemy, że a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest mniejsze od a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu maleją. Zapisujemy następującą nierówność. a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero Podstawiamy i przekształcamy nierówność. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero Dzielimy obie strony nierówności. zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa Stąd mamy: minus, dwa n, mniejszy niż, minus, dziewięć, zatem n, większy niż, cztery przecinek pięć. Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n co najmniej równej pięć wyrazy ciągu maleją. Ciąg jest malejący od pewnego miejsca. Interpretacja graficzna ciągu przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do jedenastu oraz z pionową osią a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego od minus jeden do sześciu. Wyrazy ciągu przedstawiono jako punkty płaszczyzny o następujących współrzędnych: nawias, jeden, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, siedem, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jedenaście, średnik, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu. Odpowiedź: Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest malejący dla n, należy do, nawias klamrowy, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, przecinek, wielokropek, zamknięcie nawiasu klamrowego. Przykład drugi. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego wzorem rekurencyjnym: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, przecinek, dla n, większy równy, jeden, koniec równania, koniec układu równań Rozwiązanie. Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu. b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden. Wnioskujemy, że każdy wyraz ciągu jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych. Zapisujemy: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, razy, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden. Zapisujemy wzór ciągu: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n silnia. Aby zbadać monotoniczność ciągu, określamy znak ilorazu początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka. Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka. Korzystamy z własności silni. początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, n silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka Po skróceniu wyrazów podobnych, otrzymujemy następujące równanie. początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, n, plus, jeden Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większy lub równy jeden. Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, większy niż, jeden dla n, większy niż, zero oraz początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, jeden dla n, równa się, zero. Odpowiedź: Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest niemalejący.
Polecenie 2
Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem rekurencyjnym
