Dla nauczyciela

Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Własności czworokąta wpisanego w okrąg

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:
VIII. Planimetria. Zakres podstawowy. Uczeń:
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

  • kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

  • kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

  • kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

  • stosuje pojęcie wielokąta wpisanego w okrąg

  • stosuje twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

  •  stosuje twierdzenie Ptolemeusza

  • przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

  • konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

  • dyskusja

  • rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

  • praca indywidualna

  • praca w grupach

  • praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

  • komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

  1. Nauczyciel prosi o obliczanie pola trójkąta o zadanych bokach – tak kieruje rozmową, by uczniowie przywołali wzór Herona, którego sformułowanie zapisuje na tablicy i który uczniowie stosują do rozwiązania prostego problemu. Następnie nauczyciel formułuje problem dotyczący istnienia analogicznego wzoru dla wielokątów o większej liczbie boków i rozstrzyga, że dla n>4 taki wzór nie istnieje.

  2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

  1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia Ptolemeusza. Następnie prezentuje przygotowany wcześniej rysunek czworokąta wpisanego w okrąg, w którym przekątna rozcina go na dwa trójkąty, które nie są równoramienne. Następnie prosi o znalezienie obrazów tych trójkątów w symetrii względem symetralnej przekątnej i prosi o rozstrzygnięcie dotyczące cykliczności tak otrzymanych figur oraz długości przekątnych wyjściowego czworokąta i czworokątów otrzymanych po zastosowaniu symetrii. Następnie poleca uruchomić dołączony Aplet i wykonać zamieszczone w nim polecenia.

  2. Nauczyciel formułuje twierdzenie o przekątnej czworokąta wpisanego w okrąg. Prezentuje rysunek ilustrujący twierdzenie i rysunki czworokątów powstałych z innego ułożenia trójkątów, na jakie można rozciąć dany czworokąt. Następnie prosi uczniów o zapisanie twierdzenia Ptolemeusza dla każdego z czworokątów i prosi ich o rozwiązanie powstałego układu równań. Pod kierunkiem nauczyciela jeden z uczniów przeprowadza dowód na tablicy. Następnie nauczyciel zapisuje analogiczny wzór dla drugiej przekątnj.

  3. Nauczyciel zapisuje wzór Brahmagupty dla danego czworokąta. Prosi uczniów o zapisanie pola tego czworokąta jako sumy pól trójkątów wyznaczonych przez jedną z przekątnych, w zależności od sinusa kąta. Następnie prosi o wyznaczenie cosinusa kąta, w zależności od długości boków czworokąta. Wybrany uczeń przeprowadza stosowne przekształcenia na tablicy. Następnie nauczyciel korzystając z jedynki trygonometrycznej i wzorów skróconego mnożenia odpowiednio przekształca wyrażenie algebraiczny tak, by w każdym czynniku pojawiła się suma długości wszystkich boków czworokąta. Następnie prosi wybranego ucznia o dokończenie dowodu.

  4. Nauczyciel prezentuje problem opisany w Przykładzie, który pokazuje zastosowanie własności czworokątów cyklicznych do badania pięciokąta formnego. Uczniowie rozwiązują problem w parach i wybrani uczniowie przedstawiają na forum klasy efekty pracy.

  5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

  • Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Zachęca uczniów do samodzielnego wyznaczenia długości drugiej przekątnej (patrz twierdzenie o przekątnej czworokąta cyklicznego).

Materiały pomocnicze:

Okrąg opisany na trójkącieD1BGWJdGlOkrąg opisany na trójkącie

Wskazówki metodyczne:

Aplet można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można go wykorzystać przy realizacji tematu „Okrąg opisany na czworokącie”.

Sprawdź się