Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Podstawa $A B$ trapezu $A B C D$ jest średnicą okręgu o promieniu $5$ , na nim opisanego. Wysokość tego trapezu jest równa $3$ . Oblicz pole trapezu.

Trapez wpisany w okrąg jest trapezem równoramiennym. Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1eyDRtyLTVGj

Ilustracja przedstawia trapez A B C D wpisany w okrąg. Krótsza podstawa DC ma długość b, a wysokość CE ma długość trzy.

Punkt $E$ jest spodkiem wysokości, zatem z własności trójkąta prostokątnego mamy:

$|A E| \cdot |B E| = {|C E|}^{2}$ , czyli $(10 - |B E|) \cdot |B E| = 3^{2}$ .

Pozwala to zapisać równanie kwadratowe ${|B E|}^{2} - 10 |B E| + 9 = 0$ .

Jego pierwiastkami są liczby: $1$ oraz $9$ .

Stąd $b = 10 - 2 = 8$ , a pole jest równe $P = \frac{10 + 8}{2} \cdot 3 = 27$ .

Ćwiczenie 2

W okrąg wpisano deltoid $A B C D$ o bokach długości $5$ i $4$ . Oblicz pole tego deltoidu.

Ponieważ jest to czworokąt cykliczny, więc można „od razu” skorzystać ze wzoru Brahmagupty.

Wtedy połowa obwodu deltoidu jest równa $9$ , a pole $P = \sqrt{(9 - 5) (9 - 4) (9 - 5) (9 - 4)} = 4 \cdot 5 = 20$ .

Oczywiście nie jest konieczne korzystanie ze wzoru Brahmagupty, wystarczy zauważyć, że z własności deltoidu i z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wynika, że dwa przeciwległe jego kąty muszą być kątami prostymi. Wtedy oś symetrii deltoidu jest przeciwprostokątną dwóch przystających trójkątów o przyprostokątnych $5$ i $4$ . Pole każdego z tych trójkątów jest równe
$P_{△} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ , zatem pole deltoidu jest równe $20$ .

R15mlk21HJPNb1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

W okrąg o promieniu $5$ wpisano deltoid o polu równym $40$ . Oblicz obwód tego deltoidu.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

RxbSUqG3Qnbux

Ilustracja przedstawia deltoid A B C D wpisany w okrąg. Przekątne deltoidu przecinają się w punkcie E.

Wtedy $|A C| = 10$ . Korzystając ze wzoru na pole deltoidu otrzymujemy: $\frac{|A C| \cdot |B D|}{2} = 40$ , zatem $|B D| = 8$ .

Punkt $E$ jest punktem przecięcia się przekątnych deltoidu i środkiem odcinka $B D$ .

Jest też spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $D$ w trójkącie prostokątnym $A D C$ .

Z własności trójkąta prostokątnego wynika, że $|A E| \cdot |C E| = {|D E|}^{2}$ , czyli $|C E| \cdot (10 - |C E|) = {(\frac{1}{2} |B D|)}^{2}$ .

Pozwala to zapisać równanie kwadratowe ${|C E|}^{2} - 10 |C E| + 16 = 0$ .

Jego pierwiastkami są liczby: $2$ oraz $8$ .

Zatem ${|D C|}^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20$ oraz ${|A D|}^{2} = 4^{2} + 8^{2} = 80$ .

Obwód jest więc równy: $2 \sqrt{20} + 2 \sqrt{80} = 12 \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 5

Na danym trapezie $A B C D$ , w którym $A B ∥ C D$ , można opisać okrąg. Kąty $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ są w podanej kolejności kątami wewnętrznymi tego trapezu, jak na rysunku.

R2L3v2WUuyETL

Ilustracja przedstawia trapez A B C D wpisany w okrąg. Kąt przy wierzchołku A wynosi alfa, przy wierzchołku B wynosi beta, przy wierzchołku C gamma, a przy wierzchołku D delta. Odcinki AB i DC to podstawy trapezu.

Korzystając z zapisanych zależności, wyznacz miary kątów danego trapezu.

R1W8kXQigFWga

Dopasuj zależności do miar kątów trapezu. GAMMA, równa się, trzy alfa Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto pięć stopni, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto dwadzieścia stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto dwadzieścia stopni, 3. alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni GAMMA, minus, alfa, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto pięć stopni, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto dwadzieścia stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto dwadzieścia stopni, 3. alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni alfa, plus, dwa BETA, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA Możliwe odpowiedzi: 1. alfa, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, siedemdziesiąt pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto pięć stopni, 2. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto dwadzieścia stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto dwadzieścia stopni, 3. alfa, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, BETA, równa się, czterdzieści pięć stopni, przecinek, GAMMA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni, przecinek, DELTA, równa się, sto trzydzieści pięć stopni

RGyE9iP6YJTp82

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Kolejne boki czworokąta wpisanego w okrąg mają długości: $|A B| = 4$ , $|B C| = 4$ , $|C D| = 3 + \sqrt{21}$ , $|A D| = 6$ . Wyznacz miarę kąta $A B C$ .

Oznaczmy przez $p$ przekątną $A C$ , a przez $α$ miarę kąta $A B C$ .

Wtedy, korzystając dwukrotnie z twierdzenia cosinusów mamy:

$p^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos α$ ,

$p^{2} = 6^{2} + {(3 + \sqrt{21})}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (3 + \sqrt{21}) \cdot \cos (180 ° - α)$ .

Stąd $4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos α = 6^{2} + {(3 + \sqrt{21})}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (3 + \sqrt{21}) \cdot \cos (180 ° - α)$

czyli

$\cos α (12 \sqrt{21} + 68) = - 6 \sqrt{21} - 34$ .

Zatem $\cos α = - \frac{1}{2}$ i $α = 120 °$ .

RbQI0ZFCoxQeU3

Ćwiczenie 8

Aplet

Dla nauczyciela