Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Twierdzenie cosinusów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy.

Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna pojęcie i stosuje twierdzenie cosinusów

• przeprowadza dowód twierdzenia cosinusów

• oblicza długości boków trójkąta na podstawie twierdzenia cosinusów

• oblicza miary kątów trójkąta, wykorzystując twierdzenie cosinusów

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenie Pitagorasa oraz definicji funkcji cosinus oraz jej własności.

2. Nauczyciel prosi uczniów o narysowanie trójkąta ostrokątnego i rozstrzygnięcie, czy długości $a$, $b$ i $c$ boków tego trójkąta spełniają równość $c^2=a^2+b^2$. Po otrzymaniu negatywnej odpowiedzi prosi uczniów o uzasadnienie swojego wyniku. Podobne ćwiczenie uczniowie wykonują w przypadku trójkąta rozwartokątnego.

3. Po wykonaniu ćwiczeń wprowadzających nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel formułuje twierdzenia cosinusów.

2. Nauczyciel prosi uczniów o udowodnienie twierdzenia cosinusów, zwracając szczególną uwagę na konieczność rozpatrzenia wszystkich przypadków.

3. Uczniowie w grupach, przy jak najmniejszej pomocy nauczyciela, dowodzą twierdzenia cosinusów.

4. O ile czas na to pozwala, nauczyciel poleca uczniom zapoznanie się z innym dowodem twierdzenia cosinusów zawartym w prezentacji multimedialnej. Jeśli nie, to poleca zapoznanie się tylko z lematem 1.

5. Następnie nauczyciel omawia przykłady zastosowania twierdzenia cosinusów, informując, że zastosowaniom tego twierdzeniem poświęcone są jeszcze inne części e–podręcznika.

6. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć oraz przeprowadzili dowód zależności omawianej we wstępie.

Materiały pomocnicze:

Wzór na sumę i różnicę cosinusówD4nnokqrTWzór na sumę i różnicę cosinusów

Wskazówki metodyczne:

Realizację tego tematu można przeprowadzić inaczej, a mianowicie zacząć od prezentacji multimedialnej, a zamieszczony w temacie dowód twierdzenia cosinusów, polecić jako ćwiczenie. Fragmenty omawianego tematu, takie jak twierdzenie o rzucie prostokątnym odcinka na prostą można wykorzystać w trakcie realizacji innych tematów, np. obliczając pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego o danym polu podstawy i kącie nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.