Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RFn1HlTMpG7yr

R110CHU3U0mBZ

Do każdego z równań dopasuj prawdziwy opis trójkąta.

x^{2} = y^{2} + z^{2} - 2 y z \cos φ

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi x, ramiona mają długość z oraz y. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami z i x. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami x i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami z i y., 2. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość x oraz y.Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami y i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami y i x. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i z., 3. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość y oraz x. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami x i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami z i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i y.

y^{2} = x^{2} + z^{2} - 2 x z \cos φ

z^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos ω

Do każdego z równań dopasuj prawdziwy opis trójkąta.

x^{2} = y^{2} + z^{2} - 2 y z \cos φ

y^{2} = x^{2} + z^{2} - 2 x z \cos φ

z^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos ω

Ćwiczenie 2

Bok trójkąta równobocznego $A B C$ ma długość $a$ . Punkt $D$ leży na boku $A B$ tego trójkąta tak, że $|A D| = \frac{a}{4}$ , jak na rysunku poniżej.

Ruc41ZaikkI9g

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C o ramieniu o długości a. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D o długości x. Dzieli on podstawę AB na dwa odcinki. Jeden z nich to odcinek A D o długości a dzielone na cztery.

Ra2i74FCC31a6

Zaznacz poprawną odpowiedź. Długość odcinka $C D$ jest równa:

$x = \frac{a \sqrt{13}}{4}$
$x = \frac{a \sqrt{7}}{5}$
$x = \frac{a \sqrt{17}}{7}$
$x = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

RqNeNQ9cnMF6V1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. W trójkącie $A B C$ (oznaczenia standardowe) dane są: $b = 2$ , $c = 4$ oraz $β = 30 °$ . Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa:

$a = 2 \sqrt{3}$
$a = 3 \sqrt{2}$
$a = 3$
$a = 5$

Ćwiczenie 4

Długości boków trójkąta $A B C$ oraz kąty zostały zaznaczone na rysunku.

R1eN6VUv4L0g5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, a przy wierzchołku C kąt gamma. Długość podstawy A B wynosi sześć jednostek. Długość ramienia A C wynosi pięć, natomiast ramię B C ma długość siedem.

R1GiNGIgLTzjn

Uzupełnij równości tak, żeby były prawdziwe, przeciągając odpowiednią wartość:

$\frac{19}{35}$ , $\frac{5}{7}$ , $\frac{7}{30}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{11}{42}$ , $\frac{1}{5}$

$\cos α =$
$\cos β =$
$\cos γ =$

Ćwiczenie 5

Długości boków trójkąta $A B C$ oraz kąty zostały zaznaczone na rysunku.

Rf8vo0iczdDnl

R4etPbkfqAdwO

Wskaż równość fałszywą:

$5 = 3 \cos β + 6 \cos γ$
$6 = 3 \cos α + 5 \cos β$
$3 = 6 \cos α + 5 \cos γ$

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ dane są: $|A B| = 10$ , $|A C| = 4$ oraz $|∢ B A C| = 60 °$ .

RqBfmiV0xrqIw

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Podstawa trójkąta ma długość 10 jednostek. Ramię A C ma długość czterech jednostek. Kąt przy wierzchołku a wynosi 60 stopni. Z wierzchołka C poprowadzono środkową m indeks dolny c koniec indeksu tworzącą z podstawą punkt D.

R1ToVJZmXWvvc

Zaznacz poprawną odpowiedź. Długość $m_{c}$ środkowej $C D$ tego trójkąta jest równa w przybliżeniu do części setnych:

$m_{c} \approx 4, 58$
$m_{c} \approx 3, 96$
$m_{c} \approx 4, 42$
$m_{c} \approx 4, 98$

Ćwiczenie 7

Z wierzchołków kwadratu $A B C D$ o boku długości $a$ zatoczono cztery łuki okręgów, każdy o promieniu $a$ . Punkty przecięcia tych okręgów są wierzchołkami kwadratu $K L M N$ , jak na rysunku. Oblicz długość boku kwadratu $K L M N$ ,

RrCdBCBLbXdja

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D o boku o długości a. Z wierzchołków kwadratu zatoczono cztery łuki okręgów o promieniu a. Z każdego wierzchołka kwadratu poprowadzono dwa łuki. Łuk AC wybrzuszony w kierunku wierzchołka D i B, łuk BD wybrzuszony w kierunku wierzchołka C i A Punkty przecięcia łuków wyznaczają wierzchołki kwadratu K L M N.

Niech $x$ oznacza długość boku kwadratu $K L M N$ . Poprowadźmy odcinki $A L$ , $A M$ , $B M$ i $D L$ . Każdy z tych odcinków ma długość $a$ . Wobec tego trójkąty $A B M$ i $D A L$ są równoboczne.

R9vaiCUyTWrcy

Stąd wynika, że $|∢ B A M| = |∢ D A L| = 60 °$ .

Ponieważ kąt $B A D$ jest prosty, więc $|∢ B A L| = |∢ B A D| - |∢ D A L| = 90 ° - 60 ° = 30 °$ , wobec tego $|∢ L A M| = |∢ B A M| - |∢ B A L| = 60 ° - 30 ° = 30 °$ .

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A L M$ otrzymujemy $x^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 30 ° = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{2} (2 - \sqrt{3})$ .

Stąd $x = a \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

Ćwiczenie 8

Długości boków trójkąta $A B C$ są równe $a$ , $b$ i $c$ . Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 a b + 2 b c + 2 c a$ .

Przyjmijmy oznaczenia (standardowe), jak na rysunku.

R1c2e52l5DoM5

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego trzykrotnie otrzymujemy

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ i $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ i $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

Dodając stronami te równości dostajemy

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α + a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β + a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ ,

skąd dalej mamy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 b c \cos α + 2 a c \cos β + 2 a b \cos γ$ .

Ponieważ $α$ , $β$ i $γ$ to kąty trójkąta, więc $\cos α < 1$ i $\cos β < 1$ i $\cos γ < 1$ .

Mnożąc pierwszą z tych nierówności stronami przez $2 b c$ , drugą przez $2 a c$ i trzecią przez $2 a b$ otrzymujemy

$2 b c \cos α < 2 b c$ i $2 a c \cos β < 2 a c$ i $2 a b \cos γ < 2 a b$ .

Stąd i z poprzednio otrzymanej równości dostajemy

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 b c \cos α + 2 a c \cos β + 2 a b \cos γ < 2 b c + 2 a c + 2 a b$ .

To kończy dowód.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela