Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

Odtwórz pierwszy fragment prezentacji i zapoznaj się z treścią lematu 1. dotyczącego długości rzutu prostokątnego odcinka na prostą. Po zapoznaniu się z tym lematem spróbuj przeprowadzić samodzielnie jego dowód. Po tym porównaj swój dowód z przedstawionym w kolejnym fragmencie prezentacji.

RNgV2ULK1Acdl
Lemat pierwszy. Długość rzutu prostokątnego odcinka na prostą. Rysunek przedstawia trapez prostokątny o ramionach o długości a i a prim. Trapez leży na ramieniu a prim. Przez ramię a prim przeprowadzono prostą k. Po przedłużeniu ramienia a powstał trójkąt. Kąt w punkcie przecięcia prostych ma miarę fi. Na prawo od rysunku zapisano równanie. a prim, równa się, a kosinus nawias, fi, zamknięcie nawiasu Napis. Dowód lematu jeden. Podpisano wierzchołki trapezu. Ramię o długości a oznaczono jako odcinek A B, ramię o długości a prim oznaczono jako odcinek A prim B prim. Równolegle do prostej k poprowadzono prostą l przechodzącą przez wierzchołek A. Utworzono punkt C na podstawie trapezu. Kąt przy wierzchołku A wynosi fi. Lektor czyta równania zapisane na slajdzie.
długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A prim B prim, koniec długości odcinka, równa się, a prim
Miara kąta C A B wynosi fi.
Mamy
kosinus nawias, fi, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a prim, mianownik, a, koniec ułamka a prim, równa się, a, razy, kosinus nawias, fi, zamknięcie nawiasu.
Dla fi, równa się, zero mamy
a prim, równa się, a, razy, jeden, równa się, a, razy, kosinus nawias, zero stopień, zamknięcie nawiasu, równa się, a, razy, kosinus nawias, fi, zamknięcie nawiasu
Dla fi, równa się, dziewięćdziesiąt stopni mamy
a prim, równa się, zero, równa się, a, razy, zero, równa się, a, razy, kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, równa się, a, razy, kosinus nawias, fi, zamknięcie nawiasu Lemat drugi. Napis. Długość boku trójkąta. Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Długość odcinka A B wynosi c, długość odcinka B C wynosi a, natomiast długość odcinka A C wynosi b. Kąt przy wierzchołku B ma miarę BETA, a kąt przy wierzchołku C ma miarę GAMMA. Obok zapisano równanie czytane przez lektora. a, równa się, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, plus, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu
Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A A prim. Tworzy on z ramieniem B C kąt o mierze dziewięćdziesiąt stopni. Odcinek podzielił trójkąt na dwa mniejsze. Nowopowstały trójkąt A B A prim posiada podstawę o boku c.
Pojawiają się równania.
długość odcinka, A prim C, koniec długości odcinka, równa się, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu,
długość odcinka, A prim B, koniec długości odcinka, równa się, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu,
a, równa się, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A prim C, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, A prim B, koniec długości odcinka, równa się, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, plus, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu
Z punktu A poprowadzono odcinek do ramienia B A prim. W miejscu przecięcia powstał punkt C. Długość odcinka B C wynosi a. Długość odcinka A C wynosi b. Przy wierzchołku C powstały dwa kąty przyległe, jeden ma miarę GAMMA, drugi sto osiemdziesiąt stopni, minus, GAMMA. Zatem mamy:
długość odcinka, A prim C, koniec długości odcinka, równa się, b, razy, kosinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, GAMMA, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu
oraz
długość odcinka, A prim B, koniec długości odcinka, równa się, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu,
stąd
a, równa się, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A prim B, koniec długości odcinka, minus, długość odcinka, A prim C, koniec długości odcinka, równa się, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, minus, nawias, minus, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, plus, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu
Napis. Twierdzenie cosinusów. Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa, przecinek, BETA, przecinek, GAMMA. Długość odcinka A B wynosi c, długość odcinka B C wynosi a, natomiast długość odcinka A C wynosi b. Pojawiają się równania.
a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa b c kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu.
Pojawia się układ równań.
nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, równa się, b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, plus, c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, koniec równania, drugie równanie, b, równa się, a, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, plus, c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, koniec równania, trzecie równanie, c, równa się, a, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, plus, b, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, koniec równania, koniec układu równań
Pierwsze równanie mnożymy przez a, drugie przez b, trzecie przez c. Otrzymujemy
nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, a b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, minus, a c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, koniec równania, drugie równanie, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a b, razy, kosinus nawias, GAMMA, zamknięcie nawiasu, plus, b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, koniec równania, trzecie równanie, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a c, razy, kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, plus, b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, koniec równania, koniec układu równań
Sumujemy i redukujemy równania.
minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, plus, b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu,
co daje nam minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu,
a więc
a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa b c, razy, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DSPDUdkXc

Polecenie 2

Po zapoznaniu się z lematem 1. i jego dowodem, odtwórz kolejny fragment prezentacji i  przeanalizuj lemat 2.,  w którym podana jest zależność między długością boku trójkąta, długościami dwóch pozostałych boków i cosinusami kątów przy tym boku i, podobnie jak poprzednio, spróbuj samodzielnie przeprowadzić jego dowód. Zwróć uwagę, że spodek wysokości trójkąta może leżeć na boku trójkąta, ale może też leżeć na prostej zawierającej ten bok i nie leżeć na tym boku. Porównaj swój dowód z dowodem przedstawionym w następnych dwóch slajdach prezentacji.

Polecenie 3

Po zapoznaniu się z lematem 2. i jego dowodem odtwórz kolejny fragment prezentacji, w którym sformułowane zostało twierdzenie cosinusów. Tu również, spróbuj przeprowadzić dowód tego twierdzenia, wykorzystując w nim lemat 1. Porównaj swój dowód z dowodem przedstawionym w dalszej części filmu. Ta część została podzielona na fragmenty, w których pokazane są kolejne kroki dowodu. Gdyby nawet nie udało Ci się samodzielnie przeprowadzić dowodu, to odtwórz najpierw pierwszy fragment dowodu, spróbuj poprowadzić dowód dalej samodzielnie, jeśli to też Ci się nie uda, to postępuj tak z kolejnymi fragmentami prezentacji.

Przeczytaj
Sprawdź się