Przeczytaj

W trójkącie prostokątnym o bokach długości $a$ , $b$ i $c$ , gdzie $c$ to długość przeciwprostokątnej, zależność między długościami boków ma postać równości:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Powstaje naturalne pytanie o to, czy w trójkącie, który nie jest prostokątny, jest podobna zależność.

Weźmy na przykład trójkąt ostrokątnytrójkąt ostrokątnytrójkąt ostrokątny.

Poprowadźmy wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ i oznaczmy $h = |A D|$ i $x = |B D|$ .

R1C0xtbqa9jEY

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o bokach długości a b i c. Bok A B jest poziomą podstawą o długości c, bok BC ma długość a, bok AC ma długość b. Kąt przy wierzchołku B ma miarę alfa. Wysokość upuszczona na ramię B C ma długość h, tworzy punkt D. Odcinek B D ma długość równą x.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B D$ wynika, że $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ .

Ponieważ $a > x$ i $b > h$ , więc $a^{2} > x^{2}$ i $b^{2} > h^{2}$ .

Zatem w tym przypadku $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ .

Moglibyśmy zatem zapisać $c^{2} = a^{2} + b^{2} - p$ , gdzie $p$ jest pewną liczbą.

Podobne rozumowanie moglibyśmy przeprowadzić dla trójkąta rozwartokątnegotrójkąt rozwartokątnytrójkąta rozwartokątnego, dochodząc do analogicznej równości.

Wyznaczymy tę liczbę $p$ w zależności od boków $a$ i $b$ oraz kąta między tymi bokami.

W ten sposób udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie: Twierdzenie cosinusów

W dowolnym trójkącie kwadrat długości boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków tego trójkąta pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między tymi bokami.

Przy standardowych oznaczeniach trójkąta, takich jak na rysunku,

R15KfIMwWC3Qw

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, a przy wierzchołku C kąt gamma. Ramię A B ma długość c, ramię B C ma długość a, ramię A C ma długość b.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos γ

Dowód

Wystarczy wykazać prawdziwość jednej z tych równości.

Dowód przeprowadzimy w trzech przypadkach: gdy kąt $α$ jest ostry, gdy jest prosty oraz gdy jest rozwarty.

Gdy kąt $α$ jest ostry, to co najmniej jeden z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta też jest ostry.
Bez straty ogólności rozumowania możemy założyć, że kąt $γ$ jest ostry.
Wtedy spodek $D$ wysokości trójkąta $A B C$ opuszczonej z wierzchołka $B$ leży na boku $A C$ .
Niech $|A D| = x$ oraz $|B D| = h$ , jak na rysunku.
R1I1rWEWDAa3Z
Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, przy wierzchołku C gamma. Podstawa A B ma długość c. Przyprostokątna B C ma długość a. Przeciwprostokątna A C ma długość b. Z punktu B na przeciwprostokątną upuszczono wysokość o długości h. Na ramieniu A C powstał punkt D rozdzielający ramię na dwa odcinki. Jeden A D o długości x, a drugi D C o długości b minus x .
Wtedy $|C D| = b - x$ .
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów $A B D$ i $B C D$ otrzymujemy $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ oraz $a^{2} = {(b - x)}^{2} + h^{2}$ .
Drugą z tych równości możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} - 2 b x + x^{2} + h^{2}$ , więc stąd i z pierwszej równości otrzymujemy $a^{2} = b^{2} - 2 b x + c^{2}$ .
Z definicji funkcji cosinus kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym $A B D$ wynika, że $\cos α = \frac{x}{c}$ , skąd $x = c \cos α$ .
Zatem $a^{2} = b^{2} - 2 b c \cos α + c^{2}$ , czyli $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ , co kończy dowód w tym przypadku.
Gdy kąt $α$ jest prosty.
ReE3pnUa6CBHt
Wtedy z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Ponieważ $\cos α = \cos 90 ° = 0$ , więc równość tę możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot 0 = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ .
Zatem w tym przypadku również jest ona prawdziwa.
Gdy kąt $α$ jest rozwarty.
Wtedy spodek $D$ wysokości trójkąta $A B C$ opuszczonej z wierzchołka $B$ leży na prostej $A C$ tak, że punkt $A$ leży między punktami $C$ i $D$ .
Niech $|A D| = x$ oraz $|B D| = h$ , jak na rysunku.
Wtedy $|C D| = b + x$ .
R1QioxvXbEgq6
Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt rozwarty alfa, przy wierzchołku B kąt ostry beta, a przy wierzchołku C kąt ostry gamma. Długość ramienia A B wynosi c, ramienia B C wynosi a oraz długość ramienia A C wynosi b. Ramię A C przedłużono. Z wierzchołka B upuszczono wysokość h pod kątem prostym. Wysokość h spotyka się z przedłużeniem w punkcie D. Tworzy się nowy trójkąt prostokątny A B D. Kąty wewnętrzne w nowopowstałym trójkącie wynoszą kolejno 90 stopni oraz sto osiemdziesiąt stopni minus alfa. Ramię A D ma długość x.
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów $A B D$ i $B C D$ otrzymujemy $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ oraz $a^{2} = {(b + x)}^{2} + h^{2}$ .
Drugą z tych równości możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} + 2 b x + x^{2} + h^{2}$ , więc stąd i z pierwszej równości otrzymujemy $a^{2} = b^{2} + 2 b x + c^{2}$ .
Kąty $B A C$ i $D A B$ są przyległe, więc $|∢ D A B| = 180 ° - α$ .
Ponieważ kąt $α$ jest rozwarty, więc kąt $180 ° - α$ jest ostry.
Z definicji funkcji cosinus kąta ostrego $180 ° - α$ w trójkącie prostokątnym $A B D$ wynika, że $\cos (180 ° - α) = \frac{x}{c}$ , skąd $x = c \cos (180 ° - α)$ .
Ze wzoru redukcyjnego wynika, że $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ , więc $x = c \cos (180 ° - α) = - c \cos α$ .
Zatem $a^{2} = b^{2} + 2 b x + c^{2} = b^{2} + 2 b \cdot (- c \cos α) + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ , a więc w tym przypadku równość także jest prawdziwa.

To kończy dowód.

Twierdzenie cosinusów nazywamy też twierdzeniem Carnota. Często też zależność między długościami boków trójkąta i cosinusem jednego z kątów tego trójkąta nazywa się wzorem cosinusów lub wzorem Carnota. Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Stosujemy je dla dowolnego trójkąta, choć w przypadku trójkąta prostokątnego sprowadza się ono do twierdzenia Pitagorasa, co zresztą pokazaliśmy w dowodzie twierdzenia cosinusów.

W kolejnych dwóch przykładach zapoznasz się z podstawowymi zastosowaniami twierdzenia cosinusów.

Przykład 1

Dwa boki trójkąta mają długości $4$ i $5$ , a kąt między tymi bokami jest równy $35 °$ . Obliczymy długość trzeciego boku. Wynik zaokrąglimy do części setnych.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy $a^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 35 ° = 41 - 40 \cdot \cos 35 °$ , gdzie $a$ oznacza długość trzeciego boku trójkąta.

Zatem $a = \sqrt{41 - 40 \cdot \cos 35 °}$ .

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną wartość $\cos 35 ° \approx 0, 8192$ .

Zatem $a \approx 2, 87$ .

Przykład 2

Boki trójkąta mają długości $7$ , $8$ i $9$ . Obliczymy marę największego kąta tego trójkąta. Wynik zaokrąglimy do $1 °$ .

Rozwiązanie:

Największy kąt trójkąta, oznaczmy go przez $α$ , leży naprzeciw najdłuższego boku.

Z twierdzenia cosinusów możemy zapisać $9^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos α$ .

Stąd $\cos α = \frac{7^{2} + 8^{2} - 9^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2}{7} \approx 0, 2857$ .

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną wartość kąta $α \approx 73 °$ .

Słownik

trójkąt ostrokątny

to trójkąt, którego każdy kąt wewnętrzny jest ostry, a więc większy od $0 °$ i mniejszy od $90 °$

trójkąt rozwartokątny

to trójkąt, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty, a więc większy od $90 °$ i mniejszy od $180 °$ (dwa pozostałe kąty tego trójkąta są ostre)

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik