Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Określanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna twierdzenie cosinusów

• potrafi wnioskować o rodzaju trójkąta na podstawie twierdzenia cosinusów

• zna pojęcie i stosuje kryteria pozwalające zbadać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny

• przeprowadza dowody geometryczne, w których bada czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny lub wykorzystuje ten fakt

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenie Pitagorasa oraz definicji funkcji cosinus oraz jej własności.

2. Nauczyciel prosi uczniów o narysowanie trójkąta ostrokątnego i rozstrzygnięcie, czy długości $a$, $b$ i $c$ boków tego trójkąta spełniają równość $c^2=a^2+b^2$. Po otrzymaniu negatywnej odpowiedzi prosi uczniów o uzasadnienie swojego wyniku. Podobne ćwiczenie uczniowie wykonują w przypadku trójkąta rozwartokątnego.

3. Po wykonaniu ćwiczeń wprowadzających nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi uczniów o uruchomienie apletu geogebry z e–podręcznika przy tym temacie.

2. Uczniowie w grupach, przy jak najmniejszej pomocy nauczyciela, odkrywają jakie jest kryterium pozwalające zbadać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny. Formułują to kryterium w postaci twierdzenia.

3. Nauczyciel przedstawia dowód sformułowanego twierdzenia, a jeśli to możliwe, to dowód ten przedstawiają uczniowie.

4. Następnie nauczyciel omawia przykłady zastosowania poznanego twierdzenia.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć oraz przeprowadzili dowód zależności omawianej we wstępie.

Materiały pomocnicze:

• Twierdzenie cosinusów

• Obliczanie długości boków i miar kątów w trójkącie z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów

• Obliczenie geometryczne z wykorzystaniem twierdzenie cosinusów

Wskazówki metodyczne:

Realizację tego tematu można przeprowadzić inaczej, a mianowicie poprosić uczniów, aby na tę lekcję powtórzyli sobie twierdzenie cosinusów oraz samodzielnie w domu, wykorzystując aplet geogebry ze strony e‑podręcznika dołączony do tego tematu, spróbowali sformułować kryterium pozwalające wnioskować o rodzaju trójkąta.