Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R10Qe9gGSyyPi1

Ćwiczenie 1

Rfy0UjRPNBAko1

Ćwiczenie 2

Dokonaj klasyfikacji trójkątów o podanych długościach boków, przeciągając podane długości boków trójkąta do odpowiedniej kategorii. Trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć Trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzydzieści pięć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć, koniec ułamka, początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z siedem, minus, jeden, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, jeden, pierwiastek kwadratowy z jedenaście, minus, jeden, 3. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. dwa, trzy, cztery, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 6. cztery, pięć, sześć

RNFJi6pW8TDOc1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Dwusieczne kątów $A B C$ i $B A C$ trójkąta $A B C$ przecinają się w punkcie $D$ , jak na rysunku.

R6MUGd3VOZ7TW

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Dwusieczne kątów A B C i B A C przecinają się w punkcie D. Obie przecinające się półproste wraz z odcinkiem A B tworzą nowy mniejszy trójkąt A B D wewnątrz trójkąta A B C.

R134Dy70tVAza

RbtxD3J3nZIoY2

Ćwiczenie 5

RS9eVqkOQsAnJ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi.

Niech $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ oznaczają trzy kolejne dodatnie liczby całkowite i niech będą one długościami boków trójkąta. Trójkąt ten jest rozwartokątny tylko wtedy, gdy prawdziwa jest nierówność $n^{2} + {(n + 1)}^{2} < {(n + 2)}^{2}$ . Stąd otrzymujemy kolejno:

$n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 < n^{2} + 4 n + 4$

$n^{2} - 2 n - 3 < 0$

$(n + 1) (n - 3) < 0$

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n + 1 > 0$ .
Zatem otrzymujemy $n - 3 < 0$ , czyli $n < 3$ . Wobec tego $n = 1$ lub $n = 2$ . Gdy $n = 1$ , to $n + 1 = 2$ i $n + 2 = 3$ . Te liczby nie mogą być długościami boków trójkąta, gdyż suma dwóch mniejszych z nich nie jest większa od trzeciej – największej. Gdy $n = 2$ , to $n + 1 = 3$ i $n + 2 = 4$ . Trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ i $4$ istnieje, gdyż $2 + 3 > 4$ . Zatem istnieje tylko jeden trójkąt rozwartokątny, którego długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami całkowitymi, jest to trójkąt o bokach długości $2$ , $3$ , $4$ .

To kończy dowód.

Ćwiczenie 8

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których liczby: $2 m - 3$ , $m - 1$ , $\frac{1}{2} m$ są długościami boków trójkąta ostrokątnego.

Liczby $2 m - 3$ , $m - 1$ , $\frac{1}{2} m$ będą długościami boków trójkąta, tylko wtedy, gdy będą dodatnie oraz suma dowolnych dwóch z nich będzie większa od trzeciej, czyli $2 m - 3 > 0$ i $m - 1 > 0$ i $\frac{1}{2} m > 0$ i $2 m - 3 + m - 1 > \frac{1}{2} m$ i $2 m - 3 + \frac{1}{2} m > m - 1$ i $m - 1 + \frac{1}{2} m > 2 m - 3$ . Stąd otrzymujemy $m > \frac{3}{2}$ i $m > 1$ i $m > 0$ i $m > \frac{8}{5}$ i $m > \frac{4}{3}$ i $m < 4$ . Zatem $m \in (\frac{8}{5}, 4)$ .

Wyznaczmy teraz spośród tych wartości parametru $m$ te, dla których trójkąt jest ostrokątny. Jest tak, gdy spełnione są warunki: ${(2 m - 3)}^{2} + {(m - 1)}^{2} > {(\frac{1}{2} m)}^{2}$ i ${(2 m - 3)}^{2} + {(\frac{1}{2} m)}^{2} > {(m - 1)}^{2}$ i ${(m - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} m)}^{2} > {(2 m - 3)}^{2}$ . Po uporządkowaniu każdej z tych nierówności, otrzymujemy: $\frac{19}{4} m^{2} - 14 m + 10 > 0$ i $\frac{13}{4} m^{2} - 10 m + 8 > 0$ i $\frac{11}{4} m^{2} - 10 m + 8 < 0$ . Wyróżniki trójmianów stojących po lewych stronach tych równości są równe odpowiednio $∆_{1} = 6$ , $∆_{2} = - 4$ , $∆_{3} = 12$ . Zatem druga z tych nierówności jest tożsamościowa, rozwiązaniem pierwszej jest każda liczba $m \in (- \infty, \frac{28 - 2 \sqrt{6}}{19}) \cup (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \infty)$ , a rozwiązaniem trzeciej każda liczba $m \in (\frac{20 - 4 \sqrt{3}}{11}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ . Pozostaje wyznaczyć część wspólną zbiorów $(\frac{8}{5}, 4)$ , $(- \infty, \frac{28 - 2 \sqrt{6}}{19}) \cup (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \infty)$ i $(\frac{20 - 4 \sqrt{3}}{11}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ .

Stąd $m \in (\frac{28 + 2 \sqrt{6}}{19}, \frac{20 + 4 \sqrt{3}}{11})$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela