Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Dwusieczne kątów trójkąta

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa I lub II, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy.

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna pojęcie i stosuje własności dwusiecznej

• przeprowadza konstrukcję dwusiecznej

• przeprowadza dowód twierdzenia o punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie pojęcia dwusiecznej i jej własności.

2. Nauczyciel formułuje problem dotyczący wyznaczenia miejsca geometrycznego punktów, które są środkami okręgów stycznych do ramion kąta i tak steruje dyskusją, by wspomniano o dwusiecznej.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje rysunek trapezu opisanego na okręgu i prosi o wyznaczenie miary kąta wyznaczonego przez końce ramion trapezu i środek okręgu wpisanego. Prosi uczniów o jego rozwiązanie i uogólnia otrzymany wynik.

2. Nauczyciel formułuje przykład dotyczący dwusiecznych kątów wewnętrznych równoległoboku. Ilustrując to zagadnienie za pomocą apletu geogebry wcześniej przez siebie przygotowanego, może pokazać przykłady równoległoboków, w których dwusieczne nie będą wyznaczały czworokąta.

3. Nauczyciel poleca uruchomić Aplet i prosi o szczególnie uważne przeanalizowanie konstrukcji dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta i ich punktu wspólnego.

4. Następnie formułuje twierdzenie – może od razu podać wersję 2. twierdzenia lub zacząć, przez analogie z zadaniami dotyczącymi czworokątów, od wersji, w której zakładamy, że punkt wspólny istnieje. Następnie wybrani uczniowie przeprowadzają dowód twierdzenia.

5. Nauczyciel proponuje przeprowadzić konstrukcję punktu wspólnego dwusiecznych danego trójkąta – w ramach dowodu poprawności uczniowie odwołują się do dowodu twierdzenia.

6. Nauczyciel formułuje problem dotyczący zależności między miarami kątów trójkąta i kątów, jakie tworzą dwusieczne – wybrani uczniowie rozwiązują problem na tablicy.

7. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Proponuje, by rozwiązując ćwiczenie 5 sięgnąć do dołączonego apletu.

Materiały pomocnicze:

Dwusieczne kąta

Wskazówki metodyczne:

Można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można wykorzystać przy realizacji tematu o okręgu wpisanym w trójkąt.