Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Kąty wewnętrzne trójkąta $A B C$ mają miary: $α = 40 °$ , $β = 60 °$ i $γ = 80 °$ . Wyznacz kąty między dwusiecznymi kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Niech $P$ będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

W trójkącie $A P B$ mamy: $|∢ A P B| = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 130 °$ .

W trójkącie $B P C$ mamy: $|∢ B P C| = 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 110 °$ .

Kąt $A P C$ ma miarę: $|∢ A P C| = 360 ° - 130 ° - 110 ° = 120 °$ .

Ćwiczenie 2

Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ , w którym dwa kąty, jakie tworzą dwusieczne jego kątów wewnętrznych mają miary $124 °$ oraz $140 °$ .

Oznaczmy miary kątów trójkąta $A B C$ przez $α$ , $β$ oraz $γ$ .

Nie zmniejszając ogólności możemy przyjąć, że: $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 124 °$ , $180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 140 °$ oraz $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} γ = 96 °$ .

Pozwala to zapisać układ równań:

$\{\begin{cases} α + β = 112 ° \\ β + γ = 80 ° \\ α + γ = 168 ° \end{cases}$

Stąd $α = 100 °$ , $β = 12 °$ oraz $γ = 68 °$ .

RbCDBngYaPWGF2

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Miary kątów wewnętrznych trójkąta $A B C$ mają się do siebie tak, jak $1 : 5 : 9$ . Stosunek miar kątów, jakie tworzą dwusieczne jest równy:

$1 : 5 : 9$
$4 : 5 : 6$
$2 : 10 : 19$
$11 : 13 : 15$

Ćwiczenie 4

RprvCe5WCo5Vg

R1GTAVTLUKO05

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z każdego wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta. Kąt stworzony przez dwusieczną i podstawę AB leżący przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni, a leżący przy wierzchołku B ma miarę 20 stopni. Kąt znajdujący się pomiędzy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka A oraz dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka C podpisano literą gamma. Możliwe odpowiedzi: 1.

γ = 118^{\circ}

, 2.

γ = 110^{\circ}

, 3.

γ = 120^{\circ}

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z każdego wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta. Kąt stworzony przez dwusieczną i podstawę AB leżący przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni, kąt leżący pomiędzy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka A i dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka B ma miarę 116 stopni. Kąt znajdujący się pomiędzy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka B oraz dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka C podpisano literą gamma. Możliwe odpowiedzi: 1.

γ = 118^{\circ}

, 2.

γ = 110^{\circ}

, 3.

γ = 120^{\circ}

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z każdego wierzchołka poprowadzono dwusieczną kąta. Kąt stworzony przez dwusieczną i podstawę AB leżący przy wierzchołku A ma miarę 30 stopni, kąt leżący pomiędzy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka A i dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka B podpisano literą gamma. Kąt znajdujący się pomiędzy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka A oraz dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka C ma miarę 122 stopni. Możliwe odpowiedzi: 1.

γ = 118^{\circ}

, 2.

γ = 110^{\circ}

, 3.

γ = 120^{\circ}

RUupL7F9v0Ncl2

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Dany jest trójkąt równoramienny $A B C$ , w którym $"|"A C"|" = "|"B C"|"$ . Dwusieczne kątów zewnętrznych $A B C$ i $B A C$ przecinają się pod kątem $62 °$ . Kąt $A C B$ ma miarę równą:

$31 °$
$56 °$
$59 °$
$62 °$

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ poprowadzono dwusieczne kątów przy jego podstawie $A B$ . Miara kąta rozwartego, jaki utworzyły te dwusieczne jest trzy razy większa od miary kąta wewnętrznego $A C B$ w tym trójkącie. Oblicz miarę kąta $A C B$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1R3CVOo4Onqt

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka A i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąty PAB oraz PAC popisano literą alfa. Kąty PBA i PBC podpisano literą beta. Kąt ACB popisano literą gamma. Kąt APB podpisano literą fi.

Z bilansu kątów w trójkącie mamy $2 α + 2 β + γ = 180 °$ , czyli $α + β = \frac{180 ° - γ}{2}$ .

Ponieważ $φ = 180 ° - (α + β)$ , więc $φ = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ} - γ}{2} = 90^{\circ} + \frac{γ}{2}$ .

Z treści zadania wynika, że $φ = 3 γ$ , zatem $90^{\circ} + \frac{γ}{2} = 3 γ$ .

Stąd $γ = 36 °$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ . Skonstruuj dwusieczne kątów ostrych tego trójkąta i wykaż, że kąt rozwarty, jaki tworzą te dwusieczne ma miarę $135 °$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R31UO97yAHjPK

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka C i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąt BAC jest kątem prostym. Kąty PBA i PBC podpisano literą alfa. Kąty PCB i PCA popisano literą beta.

Zauważmy, że $2 α + 2 β = 90 °$ , stąd $α + β = 45 °$ .

Ale $|∢ B P C| = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Dwusieczne jego kątów wewnętrznych przecinają się w różnych punktach: $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , jak na rysunku.

R72fznFzolpxk

Ilustracja przedstawia czworokąt o wierzchołkach A B C D. Z każdego z wierzchołków poprowadzono dwusieczną. Dwusieczna poprowadzona z wierzchołka A przechodzi przez punkt C. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka A i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka B popisano literą E. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka A i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C popisano literą F. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka D popisano literą G. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka B i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C popisano literą G.

R1EqoFuKirw3t

Udowodnij, że sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. • Otrzymujemy więc, że: ., 2. • Wtedy w szczególności, w trójkącie mamy: ., 3. • Ponieważ kąty i są kątami wierzchołkowymi, więc ., 4. • Pozostaje ponownie przywołąć twierdzenie o sumie kmiar kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego, by zapisać, że: , co należało wykazać., 5. • Analogicznie, w trójkącie mamy: ., 6. • Ale suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta wypukłego jest równa , zatem ., 7. • Sumujac miary kątów oraz dostajemy: ., 8. • Oznaczmy miary kątów czworokąta odpowiednio:

|∢ D A D| = α

|∢ A B C| = β

, ., 9. • Ponieważ kąty i są kątami wierzchołkowymi, więc .

Udowodnij, że sumy miar przeciwległych kątów czworokąta $E F G H$ są sobie równe.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.
Dowód:

Pozostaje ponownie przywołać twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego, by zapisać, że: $"|"∢ E H G"|" + "|"∢ G F E"|" = 360 ° - ("|"∢ H E F"|" + "|"∢ H G F"|") =$
$= 360 ° - 180 ° = 180 °$ , co należało wykazać.
Ponieważ kąty $H G F$ i $C G D$ są kątami wierzchołkowymi, więc $"|"∢ H G F"|" = "|"∢ C G D"|" = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ$ .
Wtedy w szczególności, w trójkącie $A E B$ mamy: $"|"∢ A E B"|" = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β$ .
Ponieważ kąty $H E F$ i $A E B$ są kątami wierzchołkowymi, więc $"|"∢ H E F"|" = "|"∢ A E B"|" = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β$ .
Oznaczmy miary kątów czworokąta $A B C D$ odpowiednio: $"|"∢ B A D"|" = α$ , $"|"∢ A B C"|" = β$ , $"|"∢ B C D"|" = γ$ , $"|"∢ A D C"|" = δ$ .
Otrzymujemy więc, że: $"|"∢ H E F"|" + "|"∢ H G F"|" = 360 ° - 180 ° = 180 °$ .
Analogicznie, w trójkącie $C G D$ mamy: $"|"∢ C G D"|" = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ$ .
Sumując miary kątów $H E F$ oraz $H G F$ dostajemy: $(180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β) + (180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ) = 360 ° - \frac{α + β + γ + δ}{2}$ .
Ale suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta wypukłego jest równa $360 °$ , zatem $\frac{α + β + γ + δ}{2} = 180 °$ .

RKocxEIC2RyFZ

Uzupełnij dowód taki, że sumy miar przeciwległych kątów czworokąta

E F G H

są sobie równe. Oznaczmy miary kątów czworokąta

A B C D

odpowiednio:

|∢ B A D| = α

|∢ A B C| = β

|∢ B C D| = γ

|∢ A D C| = δ

.
Wtedy w szczególności, w trójkącie

A E B

mamy:

|∢ A E B| = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β

.
Ponieważ kąty

H E F

i 1.

A E B

, 2.

H G F

, 3.

360 °

, 4.

|∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

, 5.

|∢ H E F| + |∢ H G F| = 360 ° - 180 ° = 180 °

są kątami wierzchołkowymi, więc

|∢ H E F| = |∢ A E B| = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β

.
Analogicznie, w trójkącie

C G D

mamy: 1.

A E B

, 2.

H G F

, 3.

360 °

, 4.

|∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

, 5.

|∢ H E F| + |∢ H G F| = 360 ° - 180 ° = 180 °

.
Ponieważ kąty 1.

A E B

, 2.

H G F

, 3.

360 °

, 4.

|∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

, 5.

|∢ H E F| + |∢ H G F| = 360 ° - 180 ° = 180 °

C G D

są kątami wierzchołkowymi, więc

|∢ H G F| = |∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

.
Sumując miary kątów

H E F

oraz

H G F

dostajemy:

(180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β) + (180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ) = 360 ° - \frac{α + β + γ + δ}{2}

.
Ale suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta wypukłego jest równa 1.

A E B

, 2.

H G F

, 3.

360 °

, 4.

|∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

, 5.

|∢ H E F| + |∢ H G F| = 360 ° - 180 ° = 180 °

, zatem

\frac{α + β + γ + δ}{2} = 180 °

.
Otrzymujemy więc, że: 1.

A E B

, 2.

H G F

, 3.

360 °

, 4.

|∢ C G D| = 180 ° - \frac{1}{2} γ - \frac{1}{2} δ

, 5.

|∢ H E F| + |∢ H G F| = 360 ° - 180 ° = 180 °

.
Pozostaje ponownie przywołać twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego, by zapisać, że:

|∢ E H G| + |∢ G F E| = 360 ° - (|∢ H E F| + |∢ H G F|) =

= 360 ° - 180 ° = 180 °

, co należało wykazać.

Aplet

Dla nauczyciela