Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Kąty wewnętrzne trójkąta $A B C$ mają miary: $α = 40 °$ , $β = 60 °$ i $γ = 80 °$ . Wyznacz kąty między dwusiecznymi kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Niech $P$ będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

W trójkącie $A P B$ mamy: $|∢ A P B| = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 130 °$ .

W trójkącie $B P C$ mamy: $|∢ B P C| = 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 110 °$ .

Kąt $A P C$ ma miarę: $|∢ A P C| = 360 ° - 130 ° - 110 ° = 120 °$ .

Ćwiczenie 2

Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ , w którym dwa kąty, jakie tworzą dwusieczne jego kątów wewnętrznych mają miary $124 °$ oraz $140 °$ .

Oznaczmy miary kątów trójkąta $A B C$ przez $α$ , $β$ oraz $γ$ .

Nie zmniejszając ogólności możemy przyjąć, że: $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 124 °$ , $180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 140 °$ oraz $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} γ = 96 °$ .

Pozwala to zapisać układ równań:

$\{\begin{cases} α + β = 112 ° \\ β + γ = 80 ° \\ α + γ = 168 ° \end{cases}$

Stąd $α = 100 °$ , $β = 12 °$ oraz $γ = 68 °$ .

RbCDBngYaPWGF2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RprvCe5WCo5Vg

R1GTAVTLUKO05

RUupL7F9v0Ncl2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ poprowadzono dwusieczne kątów przy jego podstawie $A B$ . Miara kąta rozwartego, jaki utworzyły te dwusieczne jest trzy razy większa od miary kąta wewnętrznego $A C B$ w tym trójkącie. Oblicz miarę kąta $A C B$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1R3CVOo4Onqt

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka A i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąty PAB oraz PAC popisano literą alfa. Kąty PBA i PBC podpisano literą beta. Kąt ACB popisano literą gamma. Kąt APB podpisano literą fi.

Z bilansu kątów w trójkącie mamy $2 α + 2 β + γ = 180 °$ , czyli $α + β = \frac{180 ° - γ}{2}$ .

Ponieważ $φ = 180 ° - (α + β)$ , więc $φ = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ} - γ}{2} = 90^{\circ} + \frac{γ}{2}$ .

Z treści zadania wynika, że $φ = 3 γ$ , zatem $90^{\circ} + \frac{γ}{2} = 3 γ$ .

Stąd $γ = 36 °$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ . Skonstruuj dwusieczne kątów ostrych tego trójkąta i wykaż, że kąt rozwarty, jaki tworzą te dwusieczne ma miarę $135 °$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R31UO97yAHjPK

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka C i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąt BAC jest kątem prostym. Kąty PBA i PBC podpisano literą alfa. Kąty PCB i PCA popisano literą beta.

Zauważmy, że $2 α + 2 β = 90 °$ , stąd $α + β = 45 °$ .

Ale $|∢ B P C| = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Dwusieczne jego kątów wewnętrznych przecinają się w różnych punktach: $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , jak na rysunku.

R72fznFzolpxk

Ilustracja przedstawia czworokąt o wierzchołkach A B C D. Z każdego z wierzchołków poprowadzono dwusieczną. Dwusieczna poprowadzona z wierzchołka A przechodzi przez punkt C. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka A i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka B popisano literą E. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka A i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C popisano literą F. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka D popisano literą G. Punkt przecięcia dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka B i dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C popisano literą G.

R1EqoFuKirw3t

RKocxEIC2RyFZ

Uzupełnij dowód taki, że sumy miar przeciwległych kątów czworokąta E F G H są sobie równe. Oznaczmy miary kątów czworokąta A B C D odpowiednio: miara kąta, kąt B A D, koniec miary kąta, równa się, alfa, miara kąta, kąt A B C, koniec miary kąta, równa się, BETA, miara kąta, kąt B C D, koniec miary kąta, równa się, GAMMA, miara kąta, kąt A D C, koniec miary kąta, równa się, DELTA.
Wtedy w szczególności, w trójkącie A E B mamy: miara kąta, kąt A E B, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, alfa, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, BETA.
Ponieważ kąty H E F i 1. A E B, 2. H G F, 3. trzysta sześćdziesiąt stopni, 4. miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, 5. miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni są kątami wierzchołkowymi, więc miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, równa się, miara kąta, kąt A E B, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, alfa, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, BETA.
Analogicznie, w trójkącie C G D mamy: 1. A E B, 2. H G F, 3. trzysta sześćdziesiąt stopni, 4. miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, 5. miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni.
Ponieważ kąty 1. A E B, 2. H G F, 3. trzysta sześćdziesiąt stopni, 4. miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, 5. miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni i C G D są kątami wierzchołkowymi, więc miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA.
Sumując miary kątów H E F oraz H G F dostajemy: nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, alfa, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, BETA, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, plus, DELTA, mianownik, dwa, koniec ułamka.
Ale suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta wypukłego jest równa 1. A E B, 2. H G F, 3. trzysta sześćdziesiąt stopni, 4. miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, 5. miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, zatem początek ułamka, alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, plus, DELTA, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, sto osiemdziesiąt stopni.
Otrzymujemy więc, że: 1. A E B, 2. H G F, 3. trzysta sześćdziesiąt stopni, 4. miara kąta, kąt C G D, koniec miary kąta, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, GAMMA, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, DELTA, 5. miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni.
Pozostaje ponownie przywołać twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego, by zapisać, że: miara kąta, kąt E H G, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt G F E, koniec miary kąta, równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, nawias, miara kąta, kąt H E F, koniec miary kąta, plus, miara kąta, kąt H G F, koniec miary kąta, zamknięcie nawiasu, równa się
równa się, trzysta sześćdziesiąt stopni, minus, sto osiemdziesiąt stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni, co należało wykazać.

Aplet

Dla nauczyciela