Uruchom aplet. Obserwuj kolejne etapy konstrukcji dwusiecznych kątów wewnętrznych oraz kątów zewnętrznych trójkąta .
R1UDqgBNSxATJ
Aplet przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W pierwszym kroku wybieramy jakie kąty chcemy konstruować. Rozpocznijmy od dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. W kroku drugim z wierzchołka A prowadzimy łuk o promieniu r i środku w punkcie A. W trzecim kroku zaznaczamy punkty przecięcia się wcześniej narysowanego punktu z bokami trójkąta, na boku AC zaznaczamy literę L, na boku AB zaznaczono punkt K. Z punktu K również prowadzimy łuk o promieniu r. W kolejnym kroku z punktu L prowadzimy łuk o promieniu r. W szóstym kroku literą M zaznaczamy punkt przecięcia się obu łuków. Z punktu A przez punkt M prowadzimy półprostą za pomocą linii przerywanej. W ósmym kroku półprostą zamieniamy na prostą przechodzącą przez punkt A i M, prosta ta również została namalowana linią przerywaną. W trójkącie każdy z kątów, czyli kąty BAC ABC oraz BCA zaznaczamy kolorem czerwonym. Przez każdy z wierzchołków trójkąta linią przerywaną prowadzimy prostą będącą dwusieczną tych kątów. Wszystkie dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Tym razem w pierwszym kroku wybieramy dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta. Następnie przez punkty A oraz B prowadzimy prostą. Z punktu B prowadzimy łuk o promieniu popisanym literą r. Punkt przecięcia się łuku z bokiem BC podpisujemy literą K, natomiast punkt przecięcia się prostej, która przechodzi przez punkty A oraz B, punkt ten podpisujemy literą L. W piątym kroku z punktu L rysujemy łuk o promieniu r. W szóstym kroku z punktu K prowadzimy łuk o promieniu r. W siódmym kroku punkt przecięcia się wcześniej narysowanych łuków podpisujemy literą M. Przez punkt B oraz M linią przerywaną poprowadzono prostą. W dziewiątym kroku przez punkty C oraz B prowdzimy prostą. W kolejnym kroku w taki sam sposób wykonujemy proste przerywane przechodzące przez punkty C oraz A. W jedenastym kroku zaznaczamy punkty przecięcia prostych narysowanych linią przerywaną. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt B podpisano literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą F. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą D. W ostatnim kroku rysujemy liniami przerywanymi trzy proste przechodzące przez punkty: AF, CE oraz BD.
Aplet przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W pierwszym kroku wybieramy jakie kąty chcemy konstruować. Rozpocznijmy od dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. W kroku drugim z wierzchołka A prowadzimy łuk o promieniu r i środku w punkcie A. W trzecim kroku zaznaczamy punkty przecięcia się wcześniej narysowanego punktu z bokami trójkąta, na boku AC zaznaczamy literę L, na boku AB zaznaczono punkt K. Z punktu K również prowadzimy łuk o promieniu r. W kolejnym kroku z punktu L prowadzimy łuk o promieniu r. W szóstym kroku literą M zaznaczamy punkt przecięcia się obu łuków. Z punktu A przez punkt M prowadzimy półprostą za pomocą linii przerywanej. W ósmym kroku półprostą zamieniamy na prostą przechodzącą przez punkt A i M, prosta ta również została namalowana linią przerywaną. W trójkącie każdy z kątów, czyli kąty BAC ABC oraz BCA zaznaczamy kolorem czerwonym. Przez każdy z wierzchołków trójkąta linią przerywaną prowadzimy prostą będącą dwusieczną tych kątów. Wszystkie dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Tym razem w pierwszym kroku wybieramy dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta. Następnie przez punkty A oraz B prowadzimy prostą. Z punktu B prowadzimy łuk o promieniu popisanym literą r. Punkt przecięcia się łuku z bokiem BC podpisujemy literą K, natomiast punkt przecięcia się prostej, która przechodzi przez punkty A oraz B, punkt ten podpisujemy literą L. W piątym kroku z punktu L rysujemy łuk o promieniu r. W szóstym kroku z punktu K prowadzimy łuk o promieniu r. W siódmym kroku punkt przecięcia się wcześniej narysowanych łuków podpisujemy literą M. Przez punkt B oraz M linią przerywaną poprowadzono prostą. W dziewiątym kroku przez punkty C oraz B prowdzimy prostą. W kolejnym kroku w taki sam sposób wykonujemy proste przerywane przechodzące przez punkty C oraz A. W jedenastym kroku zaznaczamy punkty przecięcia prostych narysowanych linią przerywaną. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt B podpisano literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą F. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą D. W ostatnim kroku rysujemy liniami przerywanymi trzy proste przechodzące przez punkty: AF, CE oraz BD.
Polecenie 2
Na podstawie obserwacji miar kątów, sformułuj i udowodnij hipotezę o kątach utworzonych między dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta i prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego, poprowadzoną z tego samego wierzchołka.
Kąt ten jest kątem prostym. Kąt zewnętrzny trójkąta jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego o tym samym wierzchołku. Wystarczy teraz skorzystać z faktu, że dwusieczne kątów przyległych tworzą kąt prosty.
Polecenie 3
Miary kątów wewnętrznych trójkąta są odpowiednio równe: , i . Proste zawierające dwusieczne kątów zewnętrznych tego trójkąta przecinają się w punktach , , , jak na rysunku. Wyznacz miary kątów trójkąta .
RWk7lBHs69XCF
Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Kąt BAC ma miarę 40 stopni, kąt ABC ma miarę 60 stopni, kąt BCA ma miarę 80 stopni. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą D. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt B zaznaczono literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą F. Kąty AEB, BFC i CDA zaznaczono kolorem szarym. Wszystkie kąty leżące przy punktach A B oraz C poza leżącymi wewnątrz trójkąta i ich kąta wierzchołkowego zaznaczono kolorem różowym.
Rozważmy najpierw trójkąt .
R1OnaNFGOsMUr
Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Kąt BAC ma miarę 40 stopni, kąt ABC ma miarę 60 stopni, kąt BCA ma miarę 80 stopni. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą D. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt B zaznaczono literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą F. Kąty AEB, BFC i CDA zaznaczono kolorem szarym. Wszystkie kąty leżące przy punktach A B oraz C poza leżącymi wewnątrz trójkąta i ich kąta wierzchołkowego zaznaczono kolorem różowym. Liniami przerywanymi zaznaczono odcinki AF, BD oraz CE.