Rozważmy najpierw trapez , w który można wpisać okrąg.
RJS4VbTeIPzJX
Zastanówmy się, gdzie leży środek tego okręgu. Ponieważ okrąg jest styczny do ramion kąta , więc środek tego okręgu leży na dwusiecznej kąta . Okrąg jest też styczny do ramion kąta , więc środek leży na dwusiecznej kąta . Zatem jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i .
RsSFdEApqT8h1
To samo rozumowanie prowadzi nas do wniosku, że środek jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trapezu .
RQ8WJFaAE98Kx
Zauważmy jeszcze, że trójkąty i są prostokątne, a punkt jest wierzchołkiem kata prostego w każdym z nich.
RBFK16cYFq4L1
Rzeczywiście, ponieważ proste i są równoległe, to suma kątów jednostronnych wewnętrznych i jest równa .
Zatem .
Stąd , czyli .
Zatem z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta otrzymujemy
.
Rozważmy teraz dowolny wielokąt wypukły, w który można wpisać okrąg. Rozumując w ten sam sposób, jak w przypadku trapezu stwierdzamy, że dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Sformułujmy to w postaci następującego twierdzenia.
Warunek konieczny i wystarczający wpisania okręgu w wielokąt wypukły
Twierdzenie: Warunek konieczny i wystarczający wpisania okręgu w wielokąt wypukły
W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem tego okręgu.
RSjuptWYw0dNc
Oczywiście nie w każdy wielokąt wypukły można wpisać okrąg.wielokąt opisany na okręguwielokąt wypukły można wpisać okrąg. Także w tych sytuacjach możemy zaobserwować ciekawe własności dwusiecznych kątów wewnętrznych.
Przykład 1
Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych równoległoboku, który nie jest rombem, wyznaczają prostokąt.
R1aWwateAtwzm
Podobnie jak w przypadku trapezu, tak i tu suma dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa , ale o ile w trapezie mieliśmy tylko dwie pary takich kątów (kąty przy ramionach trapezu), o tyle w równoległoboku każde dwa sąsiednie kąty mają tę własność.
Powtarzając czterokrotnie rozumowanie, które przeprowadziliśmy wcześniej dla trapezu, wnioskujemy, że każdy z kątów , , i jest prosty. Wobec tego, z twierdzenia o kątach wierzchołkowych, wynika, że kąty i też są proste.
Zatem wszystkie kąty wewnętrzne czworokąta są proste, a to oznacza, że czworokąt ten jest prostokątem.
Pozostaje jeszcze zauważyć, że milcząco zakładaliśmy, że ten czworokąt w ogóle istnieje.
Nie istniałby wtedy, gdyby dwusieczne przeciwległych kątów wewnętrznych równoległoboku zawierały się w jednej prostej, ale to ma miejsce tylko wtedy, gdy ten równoległobok jest rombem.
Właśnie dlatego założyliśmy, że tak nie jest.
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta
Wiemy już, że dwusieczne kątów wewnętrznych wielokąta o co najmniej bokach nie muszą się przeciąć w jednym punkcie, o czym świadczy omawiamy wyżej przykład. W przypadku trójkąta jest jednak inaczej. Sformułujemy i udowodnimy następujące twierdzenie.
o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta
Twierdzenie: o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta
W dowolnym trójkącie dwusieczne wszystkich trzech kątów wewnętrznych przecinają się w jednym punkcie.
Dowód
Wykażemy najpierw, że dowolne dwie dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się.
Przypuśćmy przeciwnie, że dwusieczne i kątów odpowiednio i nie przecinają się. Zatem byłyby one równoległe.
R17vYEh7aThjp
Wtedy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach jednostronnych wynikałoby, że , ale to oznaczałoby, że . To jest jednak niemożliwe, bo .
Zatem przypuszczenie o tym, że dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych trójkąta mogą się nie przecinać prowadzi do sprzeczności.
Tym samym jest ono nieprawdziwe.
Niech oznacza punkt przecięcia dwusiecznych i kątów odpowiednio i trójkąta .
RKXGhB5jJm9CG
Ponieważ punkt leży na dwusiecznej kąta , to z własności dwusiecznej wynika, że odległość tego punktu od ramion i jest jednakowa, czyli , gdzie i to punkty leżące na półprostych odpowiednio i tak, że i .
Punkt leży też na dwusiecznej kąta , więc jego odległości od ramion i są równe, czyli , gdzie to taki punkt leżący na ramieniu kąta , że . Wykazaliśmy więc, że , więc w szczególności . To jednak, z własności dwusiecznej kąta, oznacza, że punkt leży na dwusiecznej kąta .
To kończy dowód.
Przeprowadzimy teraz konstrukcję punktu wspólnego dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkątadwusieczna kąta wewnętrznego trójkątadwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Zauważmy, co wynika z powyższego twierdzenia, że wystarczy wyznaczyć punkt przecięcia dwóch spośród trzech dwusiecznych. Rozważmy trójkąt . Skonstruujemy dwusieczne kątów i kątów odpowiednio i .
Opis konstrukcji:
rysujemy łuki okręgu o środku i dowolnym promieniu tak, żeby przecięły ramiona kąta w punktach i ;
rysujemy łuki okręgów o środkach i i tym samym promieniu tak, żeby przecięły się w punkcie różnym od ;
rysujemy półprostą . Jest to dwusieczna kąta .
ROniFKfO7FiKM
Analogicznie przebiega konstrukcja dwusiecznej kąta . Punkt wspólny tych dwusiecznych jest szukanym punktem wspólnym wszystkich dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
RsymOMv47wn1c
Przykład 2
Rozważmy trójkąt , którego dwa kąty mają miary , . Niech będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta. Wyznaczymy miary kątów , oraz .
RzDUNJyCSWbwm
Rozwiązanie:
W trójkącie mamy , czyli .
Stąd .
Ponieważ trzeci kąt w trójkącie ma miarę: , to w trójkącie mamy , czyli .
Stąd .
Zatem miara kąta jest równa .
Słownik
dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta
dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta
dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek trójkąta i która dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwa równe kąty. Niekiedy dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy odcinek tej dwusiecznej, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta, a drugi koniec leży na przeciwległym boku tego trójkąta
wielokąt opisany na okręgu
wielokąt opisany na okręgu
wielokątem opisanym na okręgu nazywamy wielokąt wypukły, którego każdy bok jest styczny do tego samego okręgu, czyli wielokąt wypukły, którego każdy bok ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny niebędący wierzchołkiem tego wielokąta