Przeczytaj

Okrąg wpisany w wielokąt

Rozważmy najpierw trapez $A B C D$ , w który można wpisać okrąg.

RJS4VbTeIPzJX

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D, gdzie odcinek AB to dłuższa podstawa, a CD to krótsza podstawa. W trapez wpisano okrąg o środku S. Okrąg jest styczny do każdego z boków trapezu zarówno jego podstaw i ramion.

Zastanówmy się, gdzie leży środek tego okręgu. Ponieważ okrąg jest styczny do ramion kąta $A B C$ , więc środek $S$ tego okręgu leży na dwusiecznej kąta $A B C$ . Okrąg jest też styczny do ramion kąta $B C D$ , więc środek $S$ leży na dwusiecznej kąta $B C D$ . Zatem $S$ jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów $A B C$ i $B C D$ .

RsSFdEApqT8h1

To samo rozumowanie prowadzi nas do wniosku, że środek $S$ jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trapezu $A B C D$ .

RQ8WJFaAE98Kx

Zauważmy jeszcze, że trójkąty $B C S$ i $A D S$ są prostokątne, a punkt $S$ jest wierzchołkiem kata prostego w każdym z nich.

RBFK16cYFq4L1

Rzeczywiście, ponieważ proste $A B$ i $C D$ są równoległe, to suma kątów jednostronnych wewnętrznych $A B C$ i $B C D$ jest równa $180 °$ .

Zatem $β + γ = 180^{\circ}$ .

Stąd $\frac{β}{2} + \frac{γ}{2} = 90^{\circ}$ , czyli $|∢ S B C| + |∢ S C B| = 90 °$ .

Zatem z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta otrzymujemy

$|∢ B S C| = 180 ° - (|∢ S B C| + |∢ S C B|) = 90 °$ .

Rozważmy teraz dowolny wielokąt wypukły, w który można wpisać okrąg. Rozumując w ten sam sposób, jak w przypadku trapezu stwierdzamy, że dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Sformułujmy to w postaci następującego twierdzenia.

Warunek konieczny i wystarczający wpisania okręgu w wielokąt wypukły

Twierdzenie: Warunek konieczny i wystarczający wpisania okręgu w wielokąt wypukły

W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem tego okręgu.

RSjuptWYw0dNc

Ilustracja przedstawia siedmiokąt o wierzchołkach A B C D E F G. W siedmiokąt wpisano okrąg o środku S. Przez środek okręgu poprowadzono siedem linii, łączących środek S z każdym z wierzchołków siedmiokąta. Kąt SAB oraz SAG zaznaczono kolorem żółtym. Kąt SBA oraz kąt SBC zaznaczono kolorem ciemnozielonym. Kąt SCB i SCD zaznaczono kolorem różowym. Kąt SDC i SDE zaznaczono kolorem jasnozielonym. Kąt SED oraz SEF zaznaczono kolorem jasnoniebieskim. Kąt SFE i SFG zaznaczono kolorem czerwonym. Kąt SGF oraz SGA zaznaczono kolorem seledynowym.

Oczywiście nie w każdy wielokąt wypukły można wpisać okrąg.wielokąt opisany na okręguwielokąt wypukły można wpisać okrąg. Także w tych sytuacjach możemy zaobserwować ciekawe własności dwusiecznych kątów wewnętrznych.

Przykład 1

Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych równoległoboku, który nie jest rombem, wyznaczają prostokąt.

R1aWwateAtwzm

Ilustracja przedstawia równoległobok o wierzchołkach A B C D. Z każdego z wierzchołków poprowadzono dwusieczną. Punkt przecięcia się dwusiecznej kąta BCD z dwusieczną kąta ADC podpisano literą E. Punkt przecięcia się dwusiecznej kąta BCD z dwusieczną kąta ABC podpisano literą F. Punkt przecięcia się dwusiecznej kąta BAD z dwusieczną kąta ABC podpisano literą G. Punkt przecięcia się dwusiecznej kąta BAD z dwusieczną kąta ADC podpisano literą H.

Podobnie jak w przypadku trapezu, tak i tu suma dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa $180 °$ , ale o ile w trapezie mieliśmy tylko dwie pary takich kątów (kąty przy ramionach trapezu), o tyle w równoległoboku każde dwa sąsiednie kąty mają tę własność.

Powtarzając czterokrotnie rozumowanie, które przeprowadziliśmy wcześniej dla trapezu, wnioskujemy, że każdy z kątów $A G B$ , $B F C$ , $C E D$ i $A H D$ jest prosty. Wobec tego, z twierdzenia o kątach wierzchołkowych, wynika, że kąty $E F G$ i $E H G$ też są proste.

Zatem wszystkie kąty wewnętrzne czworokąta $E F G H$ są proste, a to oznacza, że czworokąt ten jest prostokątem.

Pozostaje jeszcze zauważyć, że milcząco zakładaliśmy, że ten czworokąt w ogóle istnieje.

Nie istniałby wtedy, gdyby dwusieczne przeciwległych kątów wewnętrznych równoległoboku $A B C D$ zawierały się w jednej prostej, ale to ma miejsce tylko wtedy, gdy ten równoległobok jest rombem.

Właśnie dlatego założyliśmy, że tak nie jest.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta

Wiemy już, że dwusieczne kątów wewnętrznych wielokąta o co najmniej $4$ bokach nie muszą się przeciąć w jednym punkcie, o czym świadczy omawiamy wyżej przykład. W przypadku trójkąta jest jednak inaczej. Sformułujemy i udowodnimy następujące twierdzenie.

o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta

Twierdzenie: o punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta

W dowolnym trójkącie dwusieczne wszystkich trzech kątów wewnętrznych przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Wykażemy najpierw, że dowolne dwie dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się.

Przypuśćmy przeciwnie, że dwusieczne $d_{α}$ i $d_{β}$ kątów odpowiednio $B A C$ i $A B C$ nie przecinają się. Zatem byłyby one równoległe.

R17vYEh7aThjp

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Dwusieczną kąta BAC podpisano dα, każdy z kątów wydzielonych tą dwusieczną podpisano α2. Dwusieczna kąta ABC została podpisana dβ, każdy z kątów wydzielonych tą dwusieczną podpisano β2.

Wtedy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach jednostronnych wynikałoby, że $\frac{α}{2} + \frac{β}{2} = 180 °$ , ale to oznaczałoby, że $α + β = 360 °$ . To jest jednak niemożliwe, bo $α + β = 180 ° - |∢ A C B| < 180 °$ .

Zatem przypuszczenie o tym, że dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych trójkąta mogą się nie przecinać prowadzi do sprzeczności.

Tym samym jest ono nieprawdziwe.

Niech $S$ oznacza punkt przecięcia dwusiecznych $d_{α}$ i $d_{β}$ kątów odpowiednio $B A C$ i $A B C$ trójkąta $A B C$ .

RKXGhB5jJm9CG

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z każdego wierzchołka poprowadzono dwusieczną, z wierzchołka A poprowadzono dwusieczną dα, z wierzchołka B poprowadzono dwusieczną dβ, natomiast z wierzchołka C poprowadzono dwusieczną dγ. Punkt przecięcia się wszystkich dwusiecznych podpisano literą S. Oba kąty wydzielone przez dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka A zaznaczono zielonym kolorem. Oba kąty wydzielone przez dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka B zaznaczono różowym kolorem. Z punktu S poprowadzono odcinek, który jest prostopadły do boku AB, koniec tego odcinka leżący na boku AB podpisano literą D. Z punktu S poprowadzono odcinek, który jest prostopadły do boku AC, koniec tego odcinka leżący na boku AC podpisano literą E. Z punktu S poprowadzono odcinek, który jest prostopadły do boku BC, koniec tego odcinka leżący na boku BC podpisano literą F.

Ponieważ punkt $S$ leży na dwusiecznej $d_{α}$ kąta $B A C$ , to z własności dwusiecznej wynika, że odległość tego punktu od ramion $A B$ i $A C$ jest jednakowa, czyli $|S D| = |S E|$ , gdzie $D$ i $E$ to punkty leżące na półprostych odpowiednio $A B$ i $A C$ tak, że $S D ⊥ A B$ i $S E ⊥ A C$ .

Punkt $S$ leży też na dwusiecznej $d_{β}$ kąta $A B C$ , więc jego odległości od ramion $B A$ i $B C$ są równe, czyli $|S D| = |S F|$ , gdzie $F$ to taki punkt leżący na ramieniu $B C$ kąta $A B C$ , że $S F ⊥ B C$ . Wykazaliśmy więc, że $|S D| = |S E| = |S F|$ , więc w szczególności $|S E| = |S F|$ . To jednak, z własności dwusiecznej kąta, oznacza, że punkt $S$ leży na dwusiecznej $d_{γ}$ kąta $A C B$ .

To kończy dowód.

Przeprowadzimy teraz konstrukcję punktu wspólnego dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkątadwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Zauważmy, co wynika z powyższego twierdzenia, że wystarczy wyznaczyć punkt przecięcia dwóch spośród trzech dwusiecznych. Rozważmy trójkąt $A C B$ . Skonstruujemy dwusieczne kątów $d_{α}$ i $d_{β}$ kątów odpowiednio $B A C$ i $A B C$ .

Opis konstrukcji:

rysujemy łuki okręgu o środku $A$ i dowolnym promieniu $r > 0$ tak, żeby przecięły ramiona kąta w punktach $K$ i $L$ ;
rysujemy łuki okręgów o środkach $K$ i $L$ i tym samym promieniu $r > 0$ tak, żeby przecięły się w punkcie $M$ różnym od $A$ ;
rysujemy półprostą $A M$ . Jest to dwusieczna $d_{α}$ kąta $α$ .

ROniFKfO7FiKM

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Kąt BAC podpisano literą α. Z wierzchołka A poprowadzono dwusieczną dα. Z wierzchołka a poprowadzono odcinek, który podpisano literą r. Z wierzchołka A poprowadzono łuk o promieniu r, punkt przecięcia się łuku z bokiem AC podpisano literą K. Punkt przecięcia się łuku z bokiem AB podpisano literą L. Zarówno z punktu K i punktu L również łuk o promieniu r, punkt przecięcia się tych łuków z dwusieczną kąta BAC podpisano literą M.

Analogicznie przebiega konstrukcja dwusiecznej $d_{β}$ kąta $β$ . Punkt wspólny tych dwusiecznych jest szukanym punktem wspólnym wszystkich dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

RsymOMv47wn1c

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Kąt BAC podpisano literą α. Z wierzchołka A poprowadzono dwusieczną dα. Z wierzchołka B poprowadzono dwusieczną dβ. Punkt przecięcia się tych dwusiecznych podpisano literą S. Z wierzchołka a poprowadzono odcinek, który podpisano literą r. Z wierzchołka A poprowadzono łuk o promieniu r, punkt przecięcia się łuku z bokiem AC podpisano literą K. Punkt przecięcia się łuku z bokiem AB podpisano literą L. Zarówno z punktu K i punktu L również łuk o promieniu r, punkt przecięcia się tych łuków z dwusieczną kąta BAC podpisano literą M.

Przykład 2

Rozważmy trójkąt $A B C$ , którego dwa kąty mają miary $|∢ B A C| = 50 °$ , $|∢ A B C| = 74 °$ . Niech $P$ będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta. Wyznaczymy miary kątów $A P B$ , $B P C$ oraz $A P C$ .

RzDUNJyCSWbwm

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Kąt BAC ma miarę 50 stopni, kąt ABC ma miarę 74 stopnie. Z wierzchołka A oraz wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek do punktu P.

Rozwiązanie:

W trójkącie $A P B$ mamy $\frac{1}{2} |∢ B A C| + |∢ A P B| + \frac{1}{2} |∢ A B C| = 180 °$ , czyli $\frac{1}{2} \cdot 50 ° + |∢ A P B| + \frac{1}{2} \cdot 74 ° = 180 °$ .

Stąd $|∢ A P B| = 180 ° - 25 ° - 37 ° = 118 °$ .

Ponieważ trzeci kąt w trójkącie $A B C$ ma miarę: $|∢ A C B| = 180 ° - |∢ B A C| - |∢ A B C| = 56 °$ , to w trójkącie $A P C$ mamy $\frac{1}{2} |∢ B A C| + |∢ A P C| + \frac{1}{2} |∢ A C B| = 180 °$ , czyli $\frac{1}{2} \cdot 50 ° + |∢ A P C| + \frac{1}{2} \cdot 56 ° = 180 °$ .

Stąd $|∢ A P C| = 180 ° - 25 ° - 28 ° = 127 °$ .

Zatem miara kąta $B P C$ jest równa $|∢ B P C| = 360 ° - 127 ° - 118 ° = 115 °$ .

Słownik

dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta

dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek trójkąta i która dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwa równe kąty. Niekiedy dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy odcinek tej dwusiecznej, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta, a drugi koniec leży na przeciwległym boku tego trójkąta

wielokąt opisany na okręgu

wielokątem opisanym na okręgu nazywamy wielokąt wypukły, którego każdy bok jest styczny do tego samego okręgu, czyli wielokąt wypukły, którego każdy bok ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny niebędący wierzchołkiem tego wielokąta

Wprowadzenie

Aplet

Okrąg wpisany w wielokąt

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta

Słownik