Autor: Karolina Nowak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Równania i nierówności - zadania prowadzące do rozwiązywania nierówności wymiernych

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:
7) rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie wielomiany $V\left(x\right)$ i $W\left(x\right)$ są zapisane w postaci iloczynowej.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: $W\left(x\right)>0$, $W\left(x\right)\ge 0$, $W\left(x\right)<0$, $W\left(x\right)\le 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż $\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$;
3) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;

V. Funkcje

Zakres podstawowy.
Uczeń:
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
12) na podstawie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ szkicuje wykresy funkcji $y=f\left(x-a\right)$, $y=f\left(x\right)+b$, $y=-f\left(x\right)$, $y=f\left(-x\right)$;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozwiązuje nierówność  wymierną;

• przekształca wyrażenia wymierne;

• szkicuje oraz rozpoznaje wykres funkcji  homograficznej;

• klasyfikuje nierówności wymierne;

• tworzy model matematyczny sytuacji rzeczywistej;

• ocenia efektywność podejmowanych działań i dokonuje zmian w tych działaniach;

• integruje wiedzę z różnych dziedzin nauki.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• odwrócona klasa;

• burza mózgów;

• dyskusja;

• stacje zadaniowe;

• obserwacja.

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• projektor multimedialny,

• arkusze papieru, pisaki

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Wprowadzenie” oraz powtarzają informacje na temat nierówności wymiernych, nierówności równoważnych oraz dopełnienia zbioru.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel  określa cele i kryteria sukcesu.

2. Nauczyciel prosi uczniów, aby zgłaszali swoje propozycje pytań do tematu (burza mózgów). Jedna osoba może zapisywać je na tablicy. Gdy zabraknie pomysłów, nauczyciel wraz z uczniami klasyfikuje i porządkuje te pytania tak, aby wyczerpywały  zaplanowane treści. Jeśli pozostały jakieś ważne kwestie do poruszenia, a nie wystąpiły  w pytaniach uczniów, nauczyciel je dopowiada.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie tworzą 3‑4 osobowe zespoły (najlepiej 8 zespołów, jeśli więc klasa jest mało liczna, to tworzą pary), których zadaniem jest wspólne omówienie i wyjaśnienie sobie nawzajem po jednym przykładzie, wskazanym przez nauczyciela, spośród zamieszczonych w sekcji „Przeczytaj”. Każdy z czterech zamieszczonych tam przykładów analizują dwa zespoły.

2. Każde dwa zespoły pracujące nad jednakowym przykładem łączą się w większą grupę i w tym gronie porównują rezultaty, ustalają poprawność zastosowanych rozwiązań, wyjaśniają wątpliwości. W razie konieczności proszą o rozstrzygnięcie nauczyciela.

3. Zespoły delegują po jednym przedstawicielu, który przedstawia rozwiązanie uzgodnione w grupie, na forum klasy.

4. Uczniowie wspólnie oglądają animację. Przed jej projekcją nauczyciel prosi, aby uczniowie zwrócili szczególną uwagę na przedstawiony w niej sposób rozwiązywania nierówności wymiernej. Po obejrzeniu animacji prowadzący inicjuje dyskusję na temat przedstawionej metody. Uczniowie formułują swoje obserwacje, dokonują oceny zastosowanych technik rozwiazywania nierówności wymiernych. Wybrany uczeń rozwiązuje na tablicy Polecenie 1.

5. Uczniowie wykonują indywidualnie, stosownie do swoich możliwości, wybrane co najmniej trzy ćwiczenia z sekcji „Sprawdź się”. Po wykonaniu każdego z nich następuje sprawdzenie rozwiązania przez nauczyciela.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel   inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Jaką wcześniejszą wiedzę i umiejętności wykorzystali na lekcji? Co było dla nich (lub nadal jest) trudne?

Praca domowa:

1. Zadaniem uczniów jest wykonanie Polecenia 2.

Materiały pomocnicze:

Rozwiązywanie nierówności wymiernychDtwq2MxYfRozwiązywanie nierówności wymiernych

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać metodę rozwiązywania nierówności wymiernych zaprezentowaną w animacji do pracy samodzielnej uczniów. Po zapoznaniu uczniów z treścią animacji może zaproponować im powrót do już wykonanych przykładów/ćwiczeń i ponowne ich rozwiązanie – inną metodą. Dzięki temu uczniowie będą mogli porównać dwa sposoby postępowania i dokonać oceny efektywności każdego z nich. Animacje można wykorzystać w lekcji „ Nierówność wymierna zapisana za pomocą sumy ułamków algebraicznych”.