Zał.: $x\le \frac{2}{5}\text{ i }x\ne 0$
Teza: $25x+\frac{12}{x}-\frac{8}{5x^2}\le 30$
Dowód: Przeprowadzamy dowód poprzez równoważne przekształcanie tezy:

$25x+\frac{12}{x}-\frac{8}{5x^2}\le 30$

$\frac{125x^3+60x-8}{5x^2}-30\le 0$

$\frac{125x^3+60x-8-150x^2}{5x^2}\le 0$

$\frac{125x^3-150x^2+60x-8}{5x^2}\le 0$

$\frac{{\left(5x-2\right)}^3}{5x^2}\le 0$

$5x^2{\left(5x-2\right)}^3\le 0$

Z założenia wiemy, że $x\le \frac{2}{5}$ i $x\ne 0$, zatem otrzymana nierówność jest prawdziwa jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden jest dodatni $\left(5x^2\right)$, a drugi niedodatni ${\left(5x-2\right)}^3$.

Przyjmijmy oznaczenia:
$M$ – wiek mamy Adama,
$M+6$ – wiek taty Adama.

Z treści zadania wynika, że: $\frac{M}{M+6}<\frac{8}{9}$.

Rozwiązujemy powyższą nierówność wymierną. Warto zauważyć, że $M$ oznacza wiek, a więc jest liczbą naturalną dodatnią. Stąd też można znacznie uprościć rozwiązanie nierówności mnożąc obie jej strony przez wspólny mianownik:

$\frac{M}{M+6}<\frac{8}{9}|·9\left(M+6\right)$

$9M<8\left(M+6\right)$

$9M<8M+48$

$9M-8M<48$

$M<48$

Mama Adama ma mniej niż $48$ lat, zatem tata Adama ma mniej niż $54$. Przy założeniu, że mama Adama ma $47$, a jego tata ma $53$ lata, wówczas jego rodzice mają razem $100$ lat.

Zauważmy, że największa wartość funkcji kwadratowej istnieje tylko wtedy, gdy jej współczynnik $a<0$. Zatem rozwiązujemy nierówność $\left(k^2-4\right)<0$.

$\left(k-2\right)\left(k+2\right)<0$

RmlbC8s7lJAH1

Na rysunku przedstawiona jest pozioma oś X oraz wykres funkcji w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry przecinający podaną oś w punkcie $-2$ oraz $2$, które są zaznaczone niezamalowanym kółeczkiem, więc nie należą do rozwiązania. Wykres pomiędzy -2 a $2$ znajduje się pod osią X i obszar ten oznaczony jest minusami .

$k\in \left(-2,2\right)$

Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej jest $q=\frac{-\Delta }{4a}$, gdzie $\Delta =b^2-4ac$.

Podstawiając $a=k^2-4$, $b=4k$ oraz $c=-1$, otrzymujemy: $\Delta =16k^2+4\left(k^2-4\right)=20k^2-16$

Zatem $q=\frac{-20k^2+16}{4k^2-16}=\frac{-5k^2+4}{k^2-4}$.

Z treści zadania wynika warunek: $q\le -1\iff \frac{-5k^2+4}{k^2-4}\le -1$.

$\frac{-5k^2+4}{k^2-4}+1\le 0$

$\frac{-5k^2+4+k^2-4}{k^2-4}\le 0$

$\frac{-4k^2}{k^2-4}\le 0$

$-4k^2\left(k^2-4\right)\le 0$

$-4k^2\left(k-2\right)\left(k+2\right)\le 0$

$k\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left\{0\right\}\cup \left(2,\infty \right)$

Ponieważ oba rozważane warunki muszą być spełnione jednocześnie, otrzymujemy odpowiedź, że dana funkcja osiągnie wartość najmniejszą nie większą niż $\left(-1\right)$ tylko dla jednej wartości parametru $k$, mianowicie dla $k=0$.

RCuHAWkc2yLF1

Na rysunku przedstawiona jest pozioma oś X oraz wykres funkcji w kształcie krzywej. Wykres znajduję się pod podaną osią od minus nieskończoności do punktu $-2$, który nie należy do rozwiązania. Podany obszar oznaczony jest minusami. Następnie wykres funkcji znajduje się nad osią X od punktu $-2$ do punktu $0$, który należy do rozwiązania. Wykres funkcji odbija się od punktu $0$ i następnie przecina oś w punkcie $2$, który nie należy do rozwiązanie. Dalej wykres funkcji znajduje się pod osią X i obszar ten oznaczony jest minusami.

R1GWIyXRUmupF

Rysunek przedstawia prostokąt. Lewy bok jest opisany: a (koszt: $20€/\mathrm{m}$), górny i dolny bok jest opisany: b (koszt: $20€/\mathrm{m}$), prawy bok jest opisany: a (koszt: $140€/\mathrm{m}$).

Funkcja kosztu ogrodzenia, przy założeniu, że ogrodzenie w cenie $140 \frac{€}{\mathrm{m}}$ obejmie krótszy z boków prostokąta, ma postać: $K\left(a\right)=140a+20\left(2b+a\right)$,
$a>0$, $b>0$ oraz $a<b$.

$K\left(a\right)=140a+40b+20a$

$K\left(a\right)=160a+40b$

Ponieważ pole działki wynosi $900 {\mathrm{m}}^2$. Zatem $ab=900\Rightarrow b=\frac{900}{a}$.

$K\left(a\right)=160a+40·\frac{900}{a}$

Chcemy, by koszt ogrodzenia był mniejszy niż $4800 €$, zatem rozwiązujemy nierówność wymierną:

$160a+40·\frac{900}{a}<4800$

$\frac{160a^2+36000-4800a}{a}<0|·a$

$160a^2-4800a+36000<0|:40$

$4a^2-120a+900<0$

Zauważmy, że otrzymane wyrażenie można zapisać jako kwadrat różnicy:

${\left(2a-30\right)}^2<0$

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, zatem nie można ogrodzić tej działki wydając mniej niż $4800 €$.

Z ostatniej nierówności wynika natomiast, że najniższym kosztem, który trzeba ponieść przy zachowaniu warunków zadania jest $4800 €$ i będzie miało to miejsce $a=15 \mathrm{m}$ oraz $b=60 \mathrm{m}$.

Z powyższego wynika także, że nie jest zasadne rozważanie użycia parkanu wzdłuż dłuższego boku działki.