Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Zastosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

12) przeprowadza dowody geometryczne

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna i stosuje zasadnicze twierdzenie planimetrii

• przeprowadza dowód twierdzenia o odcinkach stycznej i siecznej

• wykorzystuje zasadnicze twierdzenie planimetrii do badania związków miarowych w trójkącie i dowodzenia twierdzeń

• zna pojęcie potęgi punktu względem okręgu i prostej potęgowej

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie zasadniczego twierdzenia planimetrii. Następnie prezentuje na rysunku lub modelu przygotowanym w aplecie  problem równości odcinków stycznych poprowadzonych do dwóch okręgów z punktu leżącego na ich wspólnej siecznej.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje model dwóch stycznych zewnętrznych do dwóch okręgów i prosi uczniów o sformułowanie hipotezy dotyczącej długości odpowiednich odcinków tych stycznych. Następnie prosi o przeprowadzenie dowodu – wybrany uczeń przeprowadza dowód na tablicy.

2. Nauczyciel formułuje kolejno dwa problemy, opisane w Przykładzie 1. i Przykładzie 2. Uczniowie, pod kierunkiem nauczyciela rozwiązują problemy. Nauczyciel może podjąć decyzję, by jeden z przykładów zaproponować do samodzielnego rozwiązania w domu.

3. Nauczyciel poleca uruchomić animację i prosi o wykonanie dołączonych poleceń.

4. Nauczyciel formułuje twierdzenie o odcinkach stycznej i siecznej. Uczniowie przeprowadzają dowód i formułują wnioski – w szczególności dotyczące odpowiednich równości w przypadku wielu siecznych.

5. Nauczyciel wprowadza pojęcie potęgi punktu względem prostej.

6. Na zakończenie uczniowie, pod kierunkiem nauczyciela, rozwiązują problem równości odpowiednich odcinków stycznych, zaprezentowany na wstępie lekcji.

7. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Ewentualnie może prosić o dokończenie dowodu twierdzenia.

Materiały pomocnicze:

Styczna do okręguD1FUWEOc7Styczna do okręgu

Wskazówki metodyczne:

Animację można obejrzeć w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można go również wykorzystać przy realizacji tematu o okręgu opisanym na trójkącie.